1、第八章空间解析几何与向量代数内容概要名称主要内容（7-1，7-2，7-3）向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则：当 时， 表示和 同向， 的向量；a0aa当 ， 表示和 反向， 的向量；向量及线性运算向量与数的乘法主要性质：（1） 单位化向量为 ，（2） b/的距离：),(),(2211zyxMzyx 212121 )()()( zyxkjiba( zyxab向量的代数运算 kjiazyxb kjizya向量 的模、方向余弦： ，22zyx aazxxbcos,cs,cos向量的坐标向量 在 轴上的投影：aa),(Prj定义及运算： zyxbab),cos(ba数量积主要性质：（1） ；（
2、2） ，（3）0aba),cos(定义 运算的模为 ，),sin(ba方向为 指向 大拇指方向ab zyxbakji向量积性质：（1） 表示以 、 为邻边的平行四边形面积；（2） ,数量积向量积混合积混合积定义及运算： zyxzyxcbac)(性质：（1） bacbca)()()(（2） 共面的充要条件：, 0习题 7-11填空：（1） 要使 成立，向量 应满足baba ,（2） 要使 成立，向量 应满足 ，且同向 /2设 ，试用 表示向量cvcu3 ,2c, vu32知识点：向量的线性运算解： cbacbacbav 715943 3设 两点的向径分别为 ，点 在线段 上，且 ，证明点 的向径
3、为Q ,P21 ,rRPQnmRRnmr12 知识点：向量的线性运算证明：在 中，根据三角形法则 ，又 ，OPQPQO )(21rnmPQR nmnR22rrr11)(4已知菱形 的对角线 ，试用向量 表示 。ABCDbaBD , ba , DACBA , ,知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， ，又 为菱形，A , （自由向量），BCAD 222BCDABabbaab ，2A5把 的 边五等分，设分点依次为 ，再把各分点与点 连接，试以BC4321 , ,表示向量 和 。acBCA , , 321AD4知识点：向量的线性运算解：见图 7-1-5， ABC1D234Dca图 7-1-5根
4、据三角形法则， )51(51 , 111 acADBAB同理： )4( ),3( ),52( 432 cacacDAD习题 7-21 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？； ； ； (2,3)5), (B)4,2 3(C2) ,3(D答： 在第四卦限， 在第五卦限， 在第八卦限，A, 4,在第三卦限) ,4(D2在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：ABCD(,30); (,2); (,0); (,20)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，点 在 xoy 坐标面上； 在 yoz 坐标面上； 在 x 轴上
5、； 在 y 轴上。ABC3求点 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。abc(,)答：（1） 关于 xoy 面的对称点的坐标为 ；关于 xoz 面的对称点的坐标为 ；),(cba),(cba关于 yoz 面的对称点的坐标为 。),(cba（2） 关于 x 轴的对称点的坐标为 ；关于 y 轴的对称点的坐标为 ；abc(,) ),(cba关于 z 轴的对称点的坐标为 ),(c（3） 关于原点的对称点的坐标为c(,) ),ba4过点 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xoy 坐标面的平面，问在它们上面的点的Pxyz00,坐标各有什么特点？答：过点 平行于 z 轴的直线上
6、的点 x、y 坐标一定为 ，因此坐标为 ；00(,) 0,yxxyz0(,)过点 平行于 xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为 ，因此坐标为xyz z5求点 到各坐标轴的距离。M(,34)解： 到 x 轴的距离为,zy2yz 到 x 轴的距离为 ；() 5169同理 到 y 轴的距离为 ；5,34422zx到 z 轴的距离为M() 3y6在 yoz 面上，求与三点 等距离的点。ABC(3,1)(4,),(051)知识点：空间两点的距离解：所求点在 yoz 面上，设所求点的坐标为 ，由条件可知：),(zy222222 )1()5(16)()1(9 zyzy，所求点为6453y),10(7已知
7、两点 ，试用坐标表示式表示向量 。M12(0,)(,)M1212,知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解： ； ,21 4 ,2 ,1218求平行于向量 的单位向量a67知识点：向量的坐标表示及代数运算解：平行于向量 的单位向量有和 同向和反向两个，a6,7a 16 ,76,349109已知两点 ，计算向量 的模、方向余弦、方向角。M12(,),(0,)M2知识点：向量的坐标表示及代数运算解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得： 2cos,21cs ,121 ,2 2121 cos3 ,4 ,310已知向量 的模为 3，且其方向角 ，求向量 。a60,45a知识点：向量的坐
8、标表示及相关概念解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得： 23,3cos,4,3coss,cos a11设向量 的方向余弦分别满足 (1)0,(2)1,()0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦解：（1） 表示向量和 x 轴正向夹角为 ，因此该向量和 x 轴垂直，或平行于 yoz 面0cos2（2） 表示向量和 y 轴正向夹角为零，因此该向量和 y 轴平行且方向相同（3） 表示向量和 x、y 轴正向夹角都为 ，说明该向量和 x、y 轴都垂直，因此平cs行于 z 轴12已知 与轴 的夹角是 ，求 。r4,60jrP知识点：向量在轴上的投影解：根据投影公式 2),c
9、os(Prrj13一向量的终点为 ，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 ，求该向量的起B2,174,7点 的坐标。A知识点：向量在坐标轴上的投影解：向量的坐标分量即为它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，设起点 为 ，则：A),(zyx0 3,2(),(7 ,47 ,1 ,2 yxzxAB14求与向量 平行，方向相反，且长度为 75 的向量 。 a652b知识点：向量的坐标表示及代数运算解：由条件可得： ， 长度为 75， b 3751262 和 反向， ，a3b48,53a=习题 7-31设 ，且两向量的夹角 ，试求 。5 ,b/)2()(ba知识点：向量的数量积及其运算规律解：
10、根据数量积的运算规律： 22463)()2(aba，2243ba 103)3()(15cos ba2已知 ，求同时与 垂直的单位向量(,) 3,1)( ),1(32MM21 ,M知识点：向量的向量积解：由向量积性质： ，bab , ,0 ,24321 为同时与 垂直的向量kjikji6204 321 M321 ,M所求单位向量为 7 ,73 ,3122 3设力 作用在一质点上，质点由 沿直线移动到 ，求此力kjif531,2)(3,45)(22F1F1x22o图 7-3-6所做的功（设力的单位为 N，位移的单位为 m）知识点：数量积的物理意义解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为 ，3
11、,21M )(0)32()532(1 mNM kjikjifW4求向量 在向量 上的投影。,4)a,b知识点：向量在轴上的投影解：根据公式 。2),cos(Pr bababj5设 ，问 与 有怎样的关系能使 与 z 轴垂直？2,14 ,35aba知识点：两向量垂直的充要条件解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取 z 轴的单位向量 ，则)1,0()0,12402ab6在杠杆上支点 的一侧与点 的距离为 的点 处，有一与 成角 的力 作用着，在O1xP1O1F的另一侧与点 的距离为 的点 处，有一与 成角 的力 作用着，如图，问 ， ，2xP222， ， ， 符合怎样的条件才能使杠杆
12、保持平衡？1x212知识点：向量积的物理应用解： 处 作用产生的力矩 ， 处 作用产生的力矩 ，要使1PF11FMOP2 22FMOP杠杆平衡，只要 21M2211sinsinFxx7设 ，求jckjibkjia ,3 ,3（1） ； （2） ； （3）cb)() )(bacba)(知识点：向量运算的坐标表示解（1） 24 ,808)( cbac)（2） kjji323 ,4 ,3)(（3） 0 ,1 ,58)312()( ckjicba8直线 通过点 和 求点 到直线 的距离。L,)(A,2)0(B,)(CL知识点：向量积思路：在 为顶点组成的三角形中， 边上的高即为所求距离。CB, A解：
13、设所求的距离值为 ， ，又根据向量积的性质：h312SABC21032121 30674 hACBSAAC kjikji9试证向量 表示向量 与 夹角的平分角线向量的方向。baab思路：按题意，只要证该向量在 方向上的投影和它在 方向上的投影相同。解：设 ， bac ,)()(Pr babaabc aj而 cbab jj Pr)()(Pr 又 和 、 在同一平面上，)( ,)1(baabc kkca 表示向量 与 夹角的平分角线向量的方向10设 ，其中 ，且 。n ,m22 ,1b知识点：向量的数量积、向量积及其性质（1） 为何值时， ？k解： ，由0n 04)2()()2( baba kk
14、，bak（2） 为何值时， 与 为邻边的平行四边形面积为 6。km解： 与 为邻边的平行四边形面积 n)()()(kkS ， 或ba2ba1k511设 均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但 与 共线， 与 共线，试c, bacba证。0ba证明： 与 共线， 与 共线，可设cba )0,(, ,)( 2121 c代入可推得 ，又其中任意两个向量不共线，则由 不共线且为)1()(2ba非零向量，可得： 01122 0cba12试证向量 在同一平面上，并kjikjibkjia 6123 ,43 ,3沿 和 分解 。abc知识点：向量的混合积及其几何意义解：根据向量混合积的几何意义： 共面 ，c
15、ba,0)(cba又 ， 共面1520361234)( cba cba,设 = ，将 代入21cba, 642 ,1)( , 22112 5 ,513设点 的向径分别为 ，CBA, kjirkjirkjir 321 910 ,573 ,4试证： 三点在一直线上。CBA,思路：只要证：向量 和 平行A证明： ；3,752,41,3O410968AC 2/BAC14已知 ，试利用行列式的性质证明：, , , 321321321 cbacbc)()()(证明： ， ，321)(ca 321)(acba而行列式 是行列式 交换两次两行得到，321acb321cb 。同理可证： ，ba)()( ba)()( bcc)(15试用向量证明不等式： 。3212321321 babba思路： 可看作向量 的模；2321a,21是向量 的模，而 是 的值。2b,3b321a证明：设 ， ，则,3121322,aa babb)cos(即： 3212321321 ba内容概要主要内容（7-4，7-5，7-8）
