1、1第 一 部 分 数 列 的 基 础 知 识等 差 数 列一 定 义 式 ： 1nad二 通 项 公 式 ： ()m一 个 数 列 是 等 差 数 列 的 等 价 条 件 ： (a， b 为 常 数 )， 即 是 关 于 n 的 一 次 函 数 ，nna因 为 ， 所 以 关 于 n 的 图 像 是 一 次 函 数 图 像 的 分 点 表 示 形 式 。nZa三 前 n 项 和 公 式 ： 1()2S中 间 项 1()2d一 个 数 列 是 等 差 数 列 的 另 一 个 充 要 条 件 ： (a， b 为 常 数 ， a 0)， 即 是 关nSnnS于 n 的 二 次 函 数 ， 因 为 ，
2、 所 以 关 于 n 的 图 像 是 二 次 函 数 图 像 的 分 点 表 示 形 式 。nZ四 性 质 结 论1.3 或 4 个 数 成 等 差 数 列 求 数 值 时 应 按 对 称 性 原 则 设 置 ，如 ： 3 个 数 a-d,a,a+d； 4 个 数 a-3d,a-d,a+d,a+3d2. 与 的 等 差 中 项 ；b2bA在 等 差 数 列 中 ， 若 ， 则nmpq； 若 ， 则 ；mpq2mnp3.若 等 差 数 列 的 项 数 为 2 ， 则N，奇偶 dS；1naS偶奇若 等 差 数 列 的 项 数 为 ， 则 ， 且 ，n2nnaS121 naS偶奇S偶奇4.凡 按 一
3、 定 规 律 和 次 序 选 出 的 一 组 一 组 的 和 仍然 成 等 差 数 列 。 设 ，12,nA，122nnBaa， 则 有 ；23C CAB5. , ,则 前 (m+n 为 偶 数 )或 (m+n 为 奇 数 )最 大10mnS212S等 比 数 列2一 定 义 ： 成 等 比 数 列 。1(2,0,)nnnaqaqa二 通 项 公 式 ： ，1n m数 列 an是 等 比 数 列 的 一 个 等 价 条 件 是 ：当 且 时 ， 关 于 n 的 图 像 是 指 数 函 数 图 像 的(),0,Sbb， ） 0qa分 点 表 示 形 式 。三 前 n 项 和 ： ； (注 意 对
4、 公 比 的 讨 论 )11()()1nn naq四 性 质 结 论 ：1. 与 的 等 比 中 项 ( 同 号 )；abG2bb,a2.在 等 比 数 列 中 ， 若 ， 则 ；nmpmnpq若 ， 则 ；n23.设 ， ，12,nAa 122nBa， 则 有3nCa AC求 通 项 公 式 的 基 本 方 法na一 构 造 等 差 数 列 ： 递 推 式 不 能 构 造 等 比 时 ， 构 造 等 差 数 列 。第 一 类 ： 凡 是 出 现 分 式 递 推 式 都 可 以 构 造 等 差 数 列 来 求 通 项 公 式 ，例 如 ： ，121nna两 边 取 倒 数 是 公 差 为 2
5、的 等 差 数 列12nna， 从 而 求 出 。)(1an第 二 类 ：221()n是 公 差 为 1 的 等 差 数 列1na12nna二 。 递 推 ： 即 按 照 后 项 和 前 项 的 对 应 规 律 ， 再 往 前 项 推 写 对 应 式 。例 如 121nnnnaa!【 注 : 】!()3求 通 项 公 式 的 题 ， 不 能 够 利 用 构 造 等 比 或 者 构 造 等 差求 的 时 候 ， 一 般 通 过 递 推 来 求 。na nana求 前 n 项 和 S一 裂 项 相 消 法 ：、11234()()()()111nnn （ ） 1,23,4n978139278 前前+
6、前二 错 位 相 减 法 ： 凡 等 差 数 列 和 等 比 数 列 对 应 项 的 乘 积 构 成 的 数 列 求 和 时 用 此 方 法 ，求 ： 23n-2n-1nnS=x5(5)x(3)x(-1) ()23n-2n-1nn()()() ()41+12减 得 ： 23n- nn2-1n+1(1x)S=xx从 而 求 出 。n错 位 相 减 法 的 步 骤 ：(1)将 要 求 和 的 杂 数 列 前 后 各 写 出 三 项 ， 列 出 式(2)将 式 左 右 两 边 都 乘 以 公 比 q， 得 到 式(3)用 ， 错 位 相 减(4)化 简 计 算三 倒 序 相 加 法 ： 前 两 种
7、方 法 不 行 时 考 虑 倒 序 相 加 法例 ： 等 差 数 列 求 和 ：n123n21nn23S=aaa 两 式 相 加 可 得 ：n1n1n23n2211nnaaaaS 4第 二 部 分 数 列 通 项 公 式 的 求 和 方 法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列123n13na132n是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a23，所以数列 的通项公式为 。()22nna()nna二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112n， n解：由 得 则12na1n
8、a123212()()()()2()()1naann 所以数列 的通项公式为 。na2na例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113nna， na解：由 得 则123na12nna512321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.na例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11323nnaa， na解： 两边除以 ，得 ，132na1n112nn则 ，故11nn2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na
9、112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n6132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaa，解：因为 1231n n所以 1231()n naaa 用式式得 1.nn则 1()2)nna故 1()n所以 13222 !(1)43.naanna 由 ， ，则 ，又1231()()n n 212a取 得 1知 ，则 ，代入得 。a !345na所
10、以， 的通项公式为n!.2n四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11356nna， na解：设 1152()nnxx7将 代入式，得 ，等式两边消去1235nna123525n nnaxax，得 ，两边除以 ，得 代入式得1nx ,1,则1()nn由 及式得 ，则 ，则数列 是以1560a50na152na5na为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。1 1n1n例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na113524nnaa， na解：设 112()nnnxyxy将 代入式，得1354nna123(2)nnn nxyaxy整理得 。(5)4n令 ，则
11、，代入式得234xy52xy115()nnnaa由 及式，1230得 ，则 ，5na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，2n1因此 ，则 。153nna1352nnna例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n21 14n a， na8解：设 2 21()(1)()n naxynzaxyz将 代入式，得21345n，则22 2(1)()()n naxnyzaxyz2 2(3)45n nx等式两边消去 ，得 ，na2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz解方程组 ，则 ，代入式，得2452xyz3108xz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得2
12、18023108na则 ，故数列 为以213()0(1)2nan 2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2183，则 。1302nna43108na五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na51nn17na解：因为 ，所以 。在 式两边取511237nn， 10nna， 5123nna常用对数得 lgllg2a设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去11 lgl3g2()5(lg)n nnyaxy并整理，得 ，则5lgna()xyx9，故lg352xylg34216xy代入 式，得 11 1lg3lglg3lg2l()5()44416
13、4n naa 12由 及 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na则 ，1l3l2lg()165g44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等l3l216n lg3l27416比数列，则 ，因此1ggl (l)44na 1111 16 6444411 6614444553l23lg2lg(l7)5glglll(32)l(32)7lg(nnnn nn1641)32nnn则 。11545647nna六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)2115nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nnnn 102(2)(1)32
14、(2)(1)3 (3)(2)(1)1 12(3)(2)(1)(1)123(1)()()(2)(1)3()()3!nnn nnnnnn nnnnnnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再3(1)2nn 1lg()2lgnna1l3()2nn由累乘法可推知，(1)123!13211221lgllgll lgl5nnnnnaaa从而 。1(1)3!25nnna七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228()13nan189a
