1、数学物理方法(A 卷解答)第 1 页 共 8 页天津工业大学（20092010 学年第一学期）数学物理方法(A)试卷解答(2009.12 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。满分 30 42 20 8题目 一 二 三 四 总分复核得分评阅人一.填空题(每题 3 分,共 10 小题)1. 复数 的指数式为： ；ie1ie三角形式为： .)1sin(co2. 以复数 为圆心，以任意小正实数 为半径作一圆，则圆内所有0z点的集合称为 点的 邻域 .3. 函数在一点可导与解析是 不等价
2、的 (什么关系？).4. 给出矢量场旋度的散度值，即 0 .f-密封线-密封线-密封线-学院 专业班 学号 姓名 -装订线-装订线-装订线-满分 30得分数学物理方法(A 卷解答)第 2 页 共 8 页5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .6. 若函数 在某点 不可导，而在 的任意小邻域内除 外处处可)(zf00z0z导，则称 为 的 孤立奇点 .07. 函数的挑选性为 .)()(00tfdtf8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和初始条件 .9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、输运方程 和 稳定场方程 .1
3、0. 写出 阶勒让德方程: .l 0)1(2)1(2 ldxx二. 计算题(每小题 7 分，共 6 小题)满分 42得分数学物理方法(A 卷解答)第 3 页 共 8 页1. 已知解析函数 的实部 ，求该解析函数()(zf xyyxu2),().0)(f解： ， ， ， . yxu2xy22yu, 是调和函数. 2 分xy(,)u利用柯西-黎曼条件, , 即， , ， 2 分xyuvxyxyvx2yvy于是，),( )2(yx Cd)0,(),( ),()0,( )2(2x yx Cdyxdxy. 2 分C2所以， . 1 分)1()2izf2. 给出如图所示弦振动问题在 点处的衔接条件.0x解
4、：, 2 分)0(),0(txutx, 2 分sini21TF又因为, , 2 分)0(sin1txutg )0(i2txutg所以，. 1 分)(,(,(00 tFtTtTxx数学物理方法(A 卷解答)第 4 页 共 8 页3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为(1 分)02uat分离时间变数 和空间变数 ,以r(2 分)(),(vtT上式代入方程,得(1 分)a2令上式等于同一常数 ,k(2 分)22kvT则得骇姆霍兹方程为(1 分)024. 在 邻域把 展开( 不是整数).0zmzf)1(解：先计算展开系数：， ；mzf)1(mf1)0(； ；)(1zf； 5 分2)
5、()( mzf mf)(), )1(2zf所以， 在 邻域上的泰勒级数为m021!)(!1)( zzzm. 2 分2m数学物理方法(A 卷解答)第 5 页 共 8 页5. 计算 .22sin1zzd解： 因为 ( 为整数，包括零)，有 ，40)sin21(z因此， 是极点.但是，在 圆内的极点只有 .又由于 0z 2z41 分， 2 分4sin1)4(lim2zzz， 2 分i)(li24z所以，. 2 分isfsfizdz 222 )4(Re)(sin1 6. 求拉氏变换 , 为常数.costL解: , 2 分)(21titietspeLst1)(costitiLt2 分21titie2 分
6、ipi1 分20Re数学物理方法(A 卷解答)第 6 页 共 8 页三. 计算题求解两端固定均匀弦的定解问题02xtua， ，0l， .)(xt)(0xt解: 设此问题的解为)(),(tTxXtu代入方程和初始条件，得，02a， ，)(tT)(tTl可得，Xa2， ，0)()(l令，Ta2所以，(本征值问题)0,)0(lX2Ta下面先求解本征值问题：当 时， ，0xxecX21(满分 20得分数学物理方法(A 卷解答)第 7 页 共 8 页由初始条件，得 ，021c因此， ，解无意义.0),(txu当 时， ，21)(cxX同样由初始条件，得 ，0因此， ，解无意义.0),(txu当 时， ，
7、 xcxcxXsinos)(21由初始条件，得 ， ，10i2l所以， ，即， ( 为正整数)，0sinlnl因此本征值为： 2l,31本征函数为： ， 为任意常数. 10lxncxXsi)(2c分方程 的解为： ，02Ta latnBltAtTsios)(因此，lxltlatntxunnsiics),( 此问题的通解为：，lxnlatBltAtxtx nnn siicos),(),(11 代入初始条件得， ，1)(sinxlA1)(sinxll所以， . 10lndl0si(2ln dlnaB0si)(2数学物理方法(A 卷解答)第 8 页 共 8 页分四. 简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解： 泊松方程为： 3 分),(zyxfu令 ，取 唯一特解， 2 分wv则 2 分0f然后求解拉氏方程 得 。 1 分0满分 8得分
