1、数学选修 2-1 综合测评时间：90 分钟 满分：120 分一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是( )A. B(1，3,2)(13，1，1)C. D( ，3，2 )( 12，32， 1) 2 2解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即 b0，aba b，a (1，3,2) 1，故选 C.( 12，32， 1)答案：C2若命题 p：x ，tan x sin x，则命题綈 p：( )( 2，2)Ax 0 ，tan x 0sin x0( 2，2)B
2、 x0 ，tan x 0sin x0( 2，2)C x0 ，tan x 0sin x 0( 2，2)Dx 0 ，tan x 0sin x0( ， 2) (2， )解析：x 的否定为 x0， 的否定为，所以命题綈 p 为x 0，tan x 0sin x 0.( 2，2)答案：C3设 ， 是两个不重合的平面， l，m 是两条不重合的直线，则 的充分条件是 ( )Al，m 且 l ，mB l，m 且 lmC l，m 且 lmDl，m 且 l m解析：由 l，l m 得 m，因为 m，所以 ，故 C 选项正确答案：C4以双曲线 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方x24 y212程为( )A. 1 B
3、. 1x216 y212 x212 y216C. 1 D. 1x216 y24 x24 y216解析：由 1，得 1.x24 y212 y212 x24双曲线的焦点为 (0,4)，(0，4)，顶点坐标为(0,2 )，(0，2 )3 3椭圆方程为 1.x24 y216答案：D5已知菱形 ABCD 边长为 1，DAB60 ，将这个菱形沿 AC折成 60的二面角，则 B，D 两点间的距离为 ( )A. B. C. D.32 12 32 34解析：菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 ACBD ，沿 AC折叠后，有 BOAC ，DOAC，所以BOD 为二面角 BAC D 的平面角，
4、即 BOD60.因为 OBOD ，所以 BD .12 12答案：B6若双曲线 1 的渐近线与圆(x3) 2y 2r 2(r0)相切，x26 y23则 r ( )A. B2 C3 D63解析：双曲线 1 的渐近线方程为 y x，因为双曲线x26 y23 22的渐近线与圆(x3) 2y 2r 2(r0)相切，故圆心 (3,0)到直线 y x22的距离等于圆的半径 r，则 r .| 2320|2 4 3答案：A7在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( )A. B. C. D.83 38 43 34解析：取 ， ， 分
5、别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐DA DC DD1 标系，可求得平面 AB1D1 的法向量为 n(2 ，2,1) 故 A1 到平面AB1D1 的距离为 d .|AA1 n|n| 43答案：C8等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线y216x 的准线交于 A，B 两点，| AB|4 ，则 C 的实轴长为( )3A. B2 C4 D82 2解析：抛物线 y216x 的准线方程是 x4，所以点 A(4,2 )3在等轴双曲线 C：x 2y 2a 2(a0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4.答案：C9如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中
6、，M，N 分别为A1B1，CC 1 的中点，P 为 AD 上一动点，记 为异面直线 PM 与 D1N所成的角，则 的集合是( )A.2B.Error!C.Error!D.Error!解析：取 C1D1 的中点 E，PM 必在平面 ADEM 内，易证 D1N平面 ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解答案：A10已知 P 是以 F1，F 2 为焦点的椭圆 1(ab0)上的一x2a2 y2b2点，若 0， tanPF 1F2 ，则此椭圆的离心率为( )PF1 PF2 12A. B. C. D.12 23 13 53解析：由 0，得PF 1F2 为直角三角形，由PF1 PF2 tanPF1F
7、2 ，设|PF 2|s，则| PF1|2s，又| PF2|2|PF 1|24c 2(c12)，即 4c25s 2，c s，而a2 b252|PF2|PF 1|2a3s，a ，e ，故选 D.3s2 ca 53答案：D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)11若命题“xR, 2x23ax90，b0)的一个焦点作圆x2a2 y2b2x2y 2a 2 的两条切线，切点分别为 A，B.若 AOB120(O 是坐标原点) ，则双曲线 C 的离心率为_解析：由题意，如图，在 RtAOF 中，AFO30，AO a，OFc ，sin 30 .OAOF ac 12e
8、 2.ca答案：2三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12 分) 已知命题 p：不等式|x1|m1 的解集为 R，命题q：f (x)(5 2m) x是减函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求实数 m 的取值范围解：由于不等式|x1|m1 的解集为 R，所以 m11，mb0)的离心率为 ，且 a22b.x2b2 y2a2 22(1)求椭圆的方程；(2)直线 l： xym0 与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数m，使线段 AB 的中点在圆 x2y 25 上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由解：(1) 由题意得 E
9、rror!解得Error!所以 b2a 2c 21，故椭圆的方程为 x2 1.y22(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y 0)联立直线与椭圆的方程得Error!即 3x22mx m 220，(2m )243( m22)0，m 20)的焦点，直线 PF 与圆相切(1， 322)(1)求 m 的值与抛物线的方程；(2)设点 B(2,5)，点 Q 为抛物线上的一个动点，求 的取值BP BQ 范围解：(1) 把点 A 代入圆 C 的方程，得(1 m)2 2 ，m1.( 322) 92圆 C： (x 1)2y 2 .92当直线 PF 的斜率不存在时，不合题意当直线 PF 的斜率存在时，设为 k，则 PF：yk(x1)3，即 kxyk 30.直线 PF 与圆 C 相切， .|k 0 k 3|k2 1 322解得 k1 或 k1.当 k1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 2，不合题意，舍去当 k1 时，直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 4， 4.抛物线方程为 y216x.p2(2) (1，2)，BP 设 Q(x，y)， ( x2，y5)，则BQ ( x2)( 2)(y5)BP BQ x2y12 2y12y216 (y16) 22828.116 的取值范围为(，28BP BQ
