1、高等数学(一)期末复习题一、选择题1、极限 的结果是 ( )2lim()xx(A) (B) (C) (D)不存在0122、方程 在区间 内 ( )31(0,)(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有两个实根 (D)有三个实根3、 是连续函数, 则 是 的 ( ))(xfdxf)()(f(A)一个原函数; (B) 一个导函数; (C) 全体原函数; (D) 全体导函数;4、由曲线 和直线 所围的面积是 ( ))0(siny0y(A) (B) (C) (D) 2/125、微分方程 满足初始条件 的特解是 ( )x|0x(A) ( B) (C) (D)333231x6、下列变量中,是无穷小量的为(
2、)(A) (B) (C) (D) )1(lnx)0(1lnxcos(0)2(42x7、极限 的结果是( )0imsi)x(A) (B) (C) (D)不存在18、函数 在区间 上 ( )arctnxye,(A)单调增加 (B)单调减小 (C)无最大值 (D)无最小值9、不定积分 = ( )dx12(A) (B) (C) (D) arctn2l(1)arctn2xC21ln()xC10、由曲线 和直线 所围的面积是 ( ))0(xey0y(A) (B) (C) (D) 1e11、微分方程 的通解为 ( )dyx(A) (B) (C) (D)2Ce21xeCxye2xye12、下列函数中哪一个是微
3、分方程 的解( )03y(A) (B) (C) (D)2xy3xy2xy3xy13、 函数 是 ( )1cosin(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C)非奇非偶函数; (D)既是奇函数又是偶函数.14、当 时, 下列是无穷小量的是 ( )0x(A) (B) (C) (D) 1e)1ln(x)1sin(x1x15、当 时,下列函数中有极限的是 ( )(A) (B) (C) (D) 21xcosxearct16、方程 的实根个数是 ( )30()p(A)零个 (B)一个 (C)二个 (D)三个17、 ( )21()dx(A) (B) (C) (D) 21xarctnxarctnx18、定积分
4、是 ( )()bafx(A)一个函数族 (B) 的的一个原函数 (C)一个常数 (D)一个非负常数()f19、 函数 是( )2ln1y(A)奇函数 (B)偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D)既是奇函数又是偶函数20、设函数 fx在区间 0,上连续,在开区间 0,1内可导,且 0fx,则( ) (A) (B) 1f (C) f (D) 1f21、设曲线 则下列选项成立的是( )21xye令(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线22、 ( )(cosin)xd(A) (B) sCsincosxC(C) (D) sincox23、数
5、列 的极限为( ))1((A) (B) (C) (D) 不存在024、下列命题中正确的是( )(A)有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量(B)有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量(C)两无穷大量的和仍为无穷大量 (D)两无穷大量的差为零25、若 ,则下列式子一定成立的有( )()fxg(A) (B) ()()dfxg(C) (D)()()dfxx 126、下列曲线有斜渐近线的是 ( )(A) (B) siny2sinyx(C) (D)1x 1二、填空题 1、 20coslimx2、 若 ,则 )(xef )0(f3、 13cos51d4、 dxet5、微分方程 满足初始条件 的特解为 0y 0|2
6、xy6、 24 lim3x7、 极限 4li2xx8、设 则 sin1,y()f9、 1(cod10、 23x11、微分方程 的通解为 yd12、 145x13、 sin2limx14、设 ,则 2coydy15、设 则 s3,x()f16、不定积分 xde17、微分方程 的通解为 2y222222110, 01xxxxxeedyedyCxeyey代 入 上 式 可 得 到所 求 的 特 解 为 或 者18、微分方程 的通解是 ln19、 xx3)21(lim20、 ,xy设 函 数 则21、 的值是 )2(li2nn22、 31)(limxx23、 ,xyd设 函 数 则24、 2031li
7、4x25、若 ,则 2()sin6xfe)0(f26、 51i)ad ().a为 任 意 实 数27、设 ,则微分 _. ln(xyey28、 . 322cos)d 1三、解答题1、 (本题满分 9分)求函数 的定义域。162yxx2、 (本题满分 10分)设 ,求 。()(014)f (0)f3、 (本题满分 10分)设曲线方程为 ,求曲线在点 处的切线方程。321,4、 (本题满分 10分)求由直线 及抛物线 所围成的平面区域的面积。xyxy5、 (本题满分 10分)讨论函数 在 处的连续性。2 1()3xfx6、 (本题满分 10分)求微分方程 的特解。1xyd|7、 (本题满分 9分)
8、求函数 的定义域。24cos5x8、 (本题满分 10分)设 ,求 。()()(2)f n (0)f9、 (本题满分 10分)设平面曲线方程为 ,求曲线在点( 2,1)处的切线方程。322yx10、 (本题满分 10分)求由曲线 及直线 和 所围成的平面图形的面积(如下图) ye1x11、 (本题满分 10分)讨论函数 在 处的连续性。0()1xfex12、 (本题满分 10分)求方程 的通解。)122dyy13、 (本题满分 10分)证明方程 在区间 内至少有一个实根。475,(14、 (本题满分 10分)设 ,求 。()015)fxx (0)f15、 (本题满分 10分)求曲线 在点(0,
9、1)处的法线方程。ey16、 (本题满分 10分)求曲线 与直线 及 轴所围成平面图形的面积。cosx2,xy17、 (本题满分 10分)讨论函数 在 处的连续性。()10f18、 (本题满分 10分)求微分方程 的特解。|02xyxyd19、 (本题满分 20分)2(01)1AB(), ,.A BABayxa AxVBy VV曲 线 将 边 长 为 的 正 方 形 分 成 、 两 部 分 如 图 所 示 , 其 中 绕 轴旋 转 一 周 得 到 一 旋 转 体 记 其 体 积 为 , 绕 轴 旋 转 一 周 得 到 另 一 旋 转 体 记 其 体 积 为问 当 取 何 值 时 的 值 最 小
10、 Axo2xya11Ba20、 (本题满分 20分) 假定足球门的宽度为 4 米,在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进,问:该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角 ?若球员以 5.2 米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进,求在距离底线 2 米处,射门张角的变化率。21、 (本题满分 10 分)设 ,求 .1ln()()(0)xtfdx 1()fx22、证明题(本题满分 10 分)设函数 在 上连续,在 内可导, , 。试证()fx0303()1(2)3ff()1f必存在一点 ,使得 .f23、(本题满分20分)一火箭发射升空后沿竖直方向运动,在距离发射台400
11、0m处装有摄像机,摄像机对准火箭。用 表示高度,假h设在时刻 ,火箭高度 =3000m,运动速度等于300m/s,(1) 用 表示火箭与摄像机的距离,求在 时刻 的增加速度.0thL0tL(2) 用 表示摄像机跟踪火箭的仰角(弧度) ,求在 时刻 的增加速度. 0t高等数学(一)期末复习题答案一、选择题1、C 解答:第一步,先分子有理化;第二步,分子利用平方差公式,第三步,分子分母同时除以 x;第四步化简即可。222()()lim()lixxx22()limli()xx21lili()()xx2、B 解答:设 , 则 , 有零点定理得 在区间 内 存在实数根,又因3fx(0)1,ff()fx(
12、0,1), 可知函数具有单调性,所以有唯一的实根。2()30fx3、C 本题考察不定积分的概念,不定积分是所有原函数的全体。4、C 解答:利用定积分的几何意义,所求面积为 0sin2xd5、D 解答:直接积分法 , 代入已知点坐标可得31yxCC6、A 解答:因为 , 所以此时是无穷小量。1limnl0x7、C 解答: 0(si)1xx8、A 解答:因为 ,所以单调增加。210xye9、D 解答: 2222 211()ln()ddxdxxC10、A 解答:利用定积分的几何意义,所求面积为10xee11、B 解答:先分离变量,两端再积分 2111lndyxdyxdyxyxC所求通解为21Ce12
13、、D 解答:直接积分法 , 当 时有3yx0C3yx13、C 解答: 是奇函数加上偶函数 ,所以是非奇非偶函数。1cosin14、B 解答: , 所以此时是无穷小量。0lm()lx15、A 解答:,其它三项极限都不存在。2 1lililim01()()xxx16、B 解答:设 , 则 , 有零点定理得 在区间 内存在实数根 , 又因3)fp0,ffp()fx(1,0), 可知函数具有单调性,所以有唯一的实根。 2()30fxp17、B 解答:求导与求积分是互逆的运算,先求导再求积分,是所有原函数所以选 B18、C 解答:考察定积分的概念,定积分计算完以后是一个确切的常数,可能是正数,也可能是
14、0,还可能是负数。19、 A 解答:由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可,设,则2()ln1yfxx2222211()llnlnxxxf 221lnl()xfx20、B 解答:由于 0f所以 10f21、C 解答: 是水平渐近线;2lim1xxye=20lim01xxe=是铅直渐近线。22、D 考查定积分的性质与基本的积分表 (cosin)sicosdC23、A 解答:分子分母同时除以 n 可以得到(1)limnn24、B 解答:考查无穷小量的重要性质之一,有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量,其它选项都不一定正确。25、C 解答: ,其它选项都有反例可以排除。()fxg()dfxg()()d
15、fxgx26、C 解答:有求解斜渐近线的方法可得,所1sin1sinlimlilim01xxxyyxk 11li()lim(sin)lisn0xxxbyk求斜渐近线为 。其它选项都没有。二、填空题 1、 解答:221cosx2201coslilixxx或者用罗比达法则也可以求解。2、 2 解答: ,则2)(xef 2()(0)2xfef3、 2 解答:应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为 01 111(cos5)(05)=(+)=xdddx4、 分析:被积函数 相对于积分变量来说是常数,所以teCtetteC5、 解答: ,代入初始条件 得到 所求特解为2xyxyyC0|2xy02e2xye
16、6、0 解: 22240limlili35xxx7、 解:432222()1()13lililimli4xxxx8、 1 解: 则sin1sincosyy()sincosf 9、 2 解:应用性质,奇函数在对称区间上的积分为 0 1 1(cos)02xdx10、 解:由基本的积分公式3artnC23arctn1dxC11、 解:对方程 两端积分2yxydx2yyx12、 2 解:利用偶函数的积分性质1144501520dx13、1 解: sin21sin210limlilimxxx14、 解:由微分的定义 ,先求出导数,再求微分 2sddy222cosinsinsinyydyxd15、 解:
17、1co3co()cosi1xyxf 16、 解:将 看成一个整体,利用凑微元法得Cx2ee 21exxC17、解:先分离变量,再积分得通解21xy222xxxdeeyed221xxyedye18、 解:先整理,再分离变量求通解xyClnxxxeydeyeC19、 解:利用重要极限进行恒等变形,再求解 6e()6322lim(1)li1xxx e20、 解:本题是幂指函数,利用对数求导法来求导数(ln1)xlln1lnyyxx (1ln)(l)xy21、 解:分母相同,分子先通分,分子分母最高次幂都是 2次幂,自变量趋于无穷大,极限等于最高次幂的系数之比22222(1)113.lim()liml
18、imnnn22、 解:分子分母最高次幂都是 3次幂,自变量趋于无穷大,极限等于最高次幂的系数之比 3(1)2limx23、 解:由微分的定义 ,先求出导数,再求微分,本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数(l1)xddyx1nllnlny (1ln)(l)xy()x24、 解: 142003limli44xx25、2 解:先求导数,再代入具体数值 2()xfe0()2fe26、 解:利用奇函数与偶函数的积分性质 251sin1aadx27、 解:由微分的定义 ,先求出导数,再求微分 1xeddyxln()11xx xeeyyd28、 2 解:利用奇函数与偶函数的积分性质. 322022(cos)coscos1xdxdxd三、解答题1、 (本题满分 9分)解:由题意可得, 102x解得 所以函数的定义域为 1,2 2、 (本题满分 10分)解: )0(f0xf)(lim12014)x 2!3、 (本题满分 10分)解:方程两端对 x 求导,得 26yx将 代入上式,得 0(0,1)从而可得:切线方程为 即 )1yx4、 (本题满分 10分)解:作平面区域,如图示 11 y =x2y =x0yx解方程组 得交点坐标:(0,0) , (1,1) 2xy