1、定积分典型例题 20 例答案例 1 求 3322lim()nn分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间 等分写出积分和，再与所求极限相比较0,1n来找出被积函数与积分上下限 解 将区间 等分，则每个小区间长为 ，然后把 的一个因子0,1nix21n乘入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即1n= = 33221lim()nn 3312lim()nn 1304xd例 2 =_0xd解法 1 由定积分的几何意义知， 等于上半圆周 ( )220xd 2(1)xy0与 轴所围成的图形的面积故 = x 解法 2 本题也可直接用换元法
2、求解令 = （ ） ，则1xsint2t= = = =20xd221sincotd20icostd20cstd例 3 （1）若 ，则 =_；（2）若 ，求 =_2()xtfe()fx 0()()xfft()fx分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()vxudftfvxfux解 （1） = ；()fx42xe（2） 由于在被积函数中 不是积分变量，故可提到积分号外即 ，则0()()xfftd可得 = ()fx0()()ftdxf例 4 设 连续，且 ，则 =_()fx310()xftd26f解 对等式 两边关于 求导得3ftx，32(1)f故 ，令 得 ，所以 321()f
3、x326x3x1(26)7f例 5 函数 的单调递减开区间为_1()(0)Fdt解 ，令 得 ，解之得 ，即 为所求)3xFx13109x(0,)例 6 求 的极值点0(1)arctnfd解 由题意先求驻点于是 = 令 = ，得 ， 列()fx1arctnx()f01x0表如下：故 为 的极大值点，1x()f为极小值点0x例 7 已知两曲线 与 在点 处的切线相同，其中()yfx()ygx(0,)， ，2arcsin0ted1,x试求该切线的方程并求极限 3lim()nf分析 两曲线 与 在点 处的切线相同，隐含条件 ，yfxygx(0,) (0)fg(0)fg解 由已知条件得，20()tfg
4、ed且由两曲线在 处切线斜率相同知(0,)2(arcsin)0(0)11xefg故所求切线方程为 而yx3()3lim()li (0)3nnfff f例 8 求 ； 20sili(n)xxtd分析 该极限属于 型未定式，可用洛必达法则x(,0)0,(,)f- 解 = = =20sinlim()xxtd20(sin)li1)xx 20()()limsinx 304()li1cosx= = 20(limsx注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则例 9 试求正数 与 ，使等式 成立ab2001li 1sinxxtdba分析 易见该极限属于 型的未定式，可用洛必达法则解 = =2001lims
5、inxxtdba20lim1cosxabx22001lilimcosxbxa，20lix由此可知必有 ，得 又由 0li(1cos)xbx1b，20lim1cosxaa得 即 ， 为所求4a1b例 10 设 ， ，则当 时， 是 的（ ） sin20()xftd34()g0x()fxgA等价无穷小 B同阶但非等价的无穷小 C高阶无穷小 D低阶无穷小解法 1 由于 2300()sin()cosliml4xxfxg200i(n)lilmxx21li3x故 是 同阶但非等价的无穷小选 B()fxg解法 2 将 展成 的幂级数，再逐项积分，得到2sintt，2337011()()sinsi!42xf
6、dtx 则34 400 01sin(si)sin() 123liml lim3xx xxfgx 例 11 计算 21|d分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分解 21|xd0210()xd22010x5注 在使用牛顿莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件如，则是错误的错误的原因则是由于被积函数 在 处间断且在33226x 21x0被积区间内无界.例 12 设 是连续函数，且 ，则 ()f 10()3()fxftd()_f分析 本题只需要注意到定积分 是常数（ 为常数） bafx,ab解 因 连续， 必可积，从而 是常数，记 ，则()fx()fx10()ftd
7、10()ftda，且 3fa103()xaft所以，即 ，210x2从而 ，所以 14a3()4f例 13 计算 21xd分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 = 由于 是偶函数，21xd2112xxdd21x而 是奇函数，有 , 于是21x120x= = =12dx1024d2210()4xd112004xxd由定积分的几何意义可知 , 故 10x211044dx例 14 计算 ，其中 连续20()xdtft()f分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有 ，因此不能直接求导，必须先x换元使被积函数中不含 ，然后再求导x解 由于= 20()xtftd2201
8、()xftd故令 ，当 时 ；当 时 ，而 ，所以2xtu0t2uxt0u2dtu= = ，()tfd21()xf01()xf故= = = 20()xdtft20()xfu2()fx2()fx错误解答 xtftd2ff错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式 ()()()xaftdfx中要求被积函数 中不含有变限函数的自变量 ，而 含有 ，因此不能直接求()ft 2ftx导，而应先换元例 15 计算 30sinxd分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法解 30si30(cos)x30(cos)(cos)xxd6d26例 16 计算 120ln()3xd分析
9、 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法解 = =120l()x10ln()3x 101ln()(3)xdx= 10l )4dln2l例 17 计算 20sixed分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法 解 由于 20sinxe20sixde20sincosxed， （1）cox而 20cosxed20sxe20s(sin)xedx， （2）in1xd将（2）式代入（1）式可得 ,20sinxed20sin1xed故 20six21()例 18 计算 10arcsinxd分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法解 10ar
10、csix210arcsi()x 210arcsin(arcsin)xd （1）2104dx令 ，则sinxt210xd20sini1tdt20sincotdt20sint （2）20cot 20i4tt将（2）式代入（1）式中得 10arcsinxd8例 19 设 上具有二阶连续导数， 且 ，()fx0,()3f0()cos2fxxd求 f分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解解 由于 0()cosfxxd00()sincos()fxdfx0 0ini()sinffffdx()2f故 (0)f235例 20 计算 4dx分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算解 = =203x20lim43ttdx011li()23tt dxx= =01lintt linlt= 2
