1、仿射几何与北京高考解析几何试题2016 北京卷第 19 题的背景和拓展我们知道，圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头，那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢？那些不能照搬的性质，又有什么样的变化形式？举个例子：圆有一个重要的性质“直径所对的圆周角为直角” 。那么类似的，对于椭圆能得到什么相应的结论呢？设 为椭圆 的“直径”（即过中心的弦） ， 为椭圆上一点（异于 ） ，AB21xyabP,AB仍垂直吗？会有什么关系？,P分析：设 ，则 ，10(,)(,)xyP1(,)Bxy，又因为 ， ，2011001PAByk201yab21xyab所以 ，也就是说直线 的斜率之积为定值。201yx2b
2、a,PAB在 2010 年高考北京卷的第 19 题涉及到了这个内容：在平面直角坐标系 中，点xOy与点 关于原点 对称， 是动点，且直线 与 的斜率之积等于 。求动点B(1,)AOPAPB13的轨迹方程。P这里，实际上就是把上面的问题反过来了。这些是简单的问题，对于圆的更复杂的性质，圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢？我们知道，对圆锥曲线的研究，思路的起点经常是圆，而圆里面的问题太丰富了，中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚，那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。本文简述仿射几何的几条基本理论，探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去，寻找高等数学观点下的圆锥曲线（包括圆）的一致性，
3、并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。一、仿射几何的几条基本结论结论 1: 仿射变换保持同素性 . 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线.结论 2：仿射变换保持结合性. 在直线 上, 经过仿射变换后, 其对应点,ABC L在直线 的对应直线 上.,ABC LL结论 3：两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。二、仿射几何与高考试题结合 2016 年高考北京卷的解析几何试题，谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。（一）问题及背景在平面几何中有下面的问题：已知圆的半径为 1， 垂直平分 ， 为弧 上的动点（且不与 重合） ，则BOACPD,CD（1）四边形 的面积为定值；ANM（
4、2） 为定值实际上，四边形 的面积等于 ，B12ANBM所以上面的（1） （2）两个问题是等价的。这个问题的平面几何解法不难找，这里不细述了，下面我们给出一个借助高中三角公式的证明证明： 所对的弧分别为 ， ,NBOAMA,PDC所以 45所以 tan()1所以 ，即 1NO122NOMNO由圆的半径为 1，得 11, ,22BAMBOCSSSS 所以 NBOAMOCNMS 所以 BBS 即 BEDAFES 所以四边形 的面积等于 的面积（等于 1） ，即四边形 的面NAC ABNM积为定值（也即 为定值） M我们知道，椭圆 经过仿射变换 后变为圆 . 同样的, 圆21xyab,xayb21x
5、y也可以经过仿射变换变为椭圆. 我们可以从圆的某些性质导出椭圆的一些性质。BAPC ONMD由于仿射变换保持同素性和结合性, 所以图 1 中的四边形 经过变换后仍为四边ABNM形记为四边形 . 又由前面提到的仿射几何中的推论, 我们知道两个封闭图形面积ABNM之比经过仿射变化后保持不变，即 ,四边形 的面积ABNMABNSS四 边 形 四 边 形圆 面 积 椭 圆 面 积 也为定值.根据以上的分析，在椭圆里我们可以提出类似的问题，这就有了 2016 年高考数学北京卷( 理科 )的第 19 题：已知椭圆 的离心率为 ， ， ， ，2:1(0)xyCab32(,0)Aa(,)Bb(0,)O的面积为
6、 OAB（）求椭圆 的方程；（）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 PCPAyMPBxN求证： 为定值|ANBM（二）问题的拓展2016 高考数学北京卷的文科第 19 题与理科 19 题是姊妹题, 具体如下: 已知椭圆 过 ， 两点2:1xyCab(2,0)A(,1)B（）求椭圆 的方程及离心率；（）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴PCPAyMPBx交于点 求证：四边形 的面积为定值NABNM在这个题的命制过程中，还给出了其他的一些方向，但慎重考虑后，我们做了一些取舍，这里一并和大家谈谈，和大家探讨。本题中, 我们把点 限定在第三象
7、限，但实际上点 在其他象限时也有类似问题，比PP如：当点 在第一象限的时候（且在椭圆 上） ，仍然设 交 轴于点 ，214xyAyM交 轴于点 ，其中 ，则可以证明 是一个定值。证明的过程BPxN(2,0),1ABMNPBS 中，首先需要一个几何转化，即 ，接下来就1|2MNPABAS 和前面的问题没什么差别了。这个结果非常漂亮，但最后还是割爱了，为什么呢？我们放弃它，并不是因为这个几何转化，我们甚至认为解析几何一定要考查几何的东西，但是这个题的几何转化的途径太单一了，几乎就是“华山一条路” ，而一旦考生不能几何转化，将面临及其艰苦的运算，这不是北京高考题应该具备的特质。我们心目中的解析几何题
8、应该是这样的：它首先应该是个几何问题，问题的提出应该有一个几何背景，中间解决的过程是代数的，从几何到代数的转化当然是需要的，但一般会给考生多一些途径，这个代数的方法也没有什么一定之规，套用中学教师的总结， “可以是设点，也可以是设直线” ，比如今年的题就是这样，但最后还是回归到解决一个几何问题。一道好的解析几何试题里，几何应该是缘起，也是归宿，代数是解决这个几何问题的工具。（三） 不同解法在阅卷过程中, 我们发现学生有很多好的解法, 在这里列举几种理科 19 题的解法, 供大家参考. 解法 1：（）由（）知， ， (2,0)A(,1)B设 ，则 0(,)Pxy4xy当 时，直线 的方程为 A0
9、(2)yx令 ，得 ，从而 0x0M 02|1|MyByx直线 的方程为 PB01yx令 ，得 ，从而 0y0Nxy 0|2|1NxAy所以00|212xABMy000448xyx002y4当 时， ， ， ，0x01y|2BM|AN所以 |4AN综上， 为定值|解法 2：（）联立椭圆 与直线 的方程 得到 点坐标为CPA1()bykxaP2121,.Pkxayb联立椭圆 与直线 的方程 得到 点坐标为PB2()axkybP22,.1Pkxayb因此 221 1,kk两式通分相减，得到 1212()0k如果 ，则 ，即 12kkk因此，无论 是否相等，总有 从而 1, 12112()k由直线
10、的方程解得 点坐标 ， PAM0xMykb由直线 的方程解得 点坐标 ， BN2a0为定值1|()()Naxby解法 3：（） 由（）知， ， (2,0)A(,1)当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,PB1(0)ykx令 得 ,从而 0yNxk2|N由 得 ，21,42(4)80xk所以 ， 281Pkx21Py直线 方程为 ，A24()8kx令 得 ，从而 0x12Mky4|1|21MkBy所以 4|ANBk当直线 的斜率不存在时 ，此时 ， ，P(0,1)(,N|2AN|BM所以 |4综上所述 为定值 |ANBM参考文献1朱德祥，朱维宗高等几何M 北京：高等教育出版社，20072梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋高等几何M 北京：高等教育出版社，20073. 王雅琪. 坐标一桥飞架 数形天堑变通途J数学通报，2016，3：46-484. 王雅琪. 高观点下的北京高考解析几何试题J数学通报，2016，11：28-305. 李红春. 仿射变换下一类椭圆问题的简单解法J中学数学月刊，2012，12：40-43
