1、绝密启用前2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码 302）考生注意事项1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部
2、分必须使用 2B 铅笔填涂。5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。考生姓名： 考生编号：2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数 在 处连续，则（ ）1cos,0(),xfxab(A) (B) (C) (D)2a120ab2ab（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（ ）()fx(),()1ff()fx1 1010110 10()()()()AfdBxdCxfxDffx （3）设数列 收敛，则（ ）n当 时，
3、 当 时，()Alimsxli0nx()Blim()0nxlim0nx当 时， 当 时，C2()nDsin（4）微分方程的特解可设为（A） （B）2(cosin2)xeBxC2(co2sin)xAeBxC（C） （D） （5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则(,)fxy(,)xy(,)(,)0fxyfxy（A） （B） （C） （D）0,1,ff(0,)1,ff(,1)(,)ff(,1),0ff（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位： ） ，虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，1()vt/ms
4、 2()vt计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s） ，则（ ）0t（A） （B） （C） （D）0t 1505t 025t0512053()ts(/)vms（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （ A123(,)P102PA123(,)A）（A） （B） （C ） （D）12232312（8）设矩阵 ,则（ ）0100,2（A） （B）,CB与 相 似 与 相 似 ,ACB与 相 似 与 不 相 似（C） （D ）与 不 相 似 与 相 似 与 不 相 似 与 不 相 似二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 曲线 的斜渐近线
5、方程为_21arcsinyxx(10) 设函数 由参数方程 确定，则 _()sintey20tdyx(11) _20ln1()xd(12) 设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则(,)fy(,)(1)yydfxedxed(0,)f(,)_fxy（13） 10tan_yxd（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则4123A12_a三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）求极限 03limxted（16） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ，求 ，(,)fuv(,cos)x
6、yfe0xdy20x（17） （本题满分 10 分）求 21limlnnkk（18） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值()yx320yx()yx（19） （本题满分 10 分）设函数 在区间 上具有 2 阶导数，且 ，证明：()f0,1 0(1),limxff方程 在区间 内至少存在一个实根；()()0fx,1方程 在区间 内至少存在两个不同实根。2()fx(,)（20） （本题满分 11 分）已知平面区域 计算二重积分 。2,|,Dxyy21Dxdy（21） （本题满分 11 分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线 L: 上()yx30,(1)0P()x任意一
7、点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点 ，法线与 x 轴相交于点 ，若 ，求 L,pY,pXpY上点的坐标 满足的方程。,xy（22） （本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值，且 。12,A312证明：()()2rA若 ，求方程组 的通解。13x（23） （本题满分 11 分）设二次型 在正交变换2212313132(,)8fxaxx下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .XQY21yaQ参考答案1.【答案】A【解析】 在 处连续 选 A.0011cos2limli,()xxfxaa011.22ba2.【答案】B【解析】 为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除 C,D
8、.()f 10()dfx取 满足条件，则 ，选 B.2()1fx112()3fdx3.【答案】D【解析】特值法：（ A）取 ，有 ，A 错；取 ，排除nxlimsn,linx1nxB,C.所以选 D.4.【答案】A【解析】特征方程为：21,2480i22*1()1cos)cos(cos2in),xx xxfeeyAeBCx故特解为： 选 C.*2(sin),xyABC5.【答案】C【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调(,),)0,(,fyfyfxy y递减函数，所以有 ，故答案选 D.(,1),(1,)fff6.【答案】B【解析】从 0 到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲
9、，则t 0012(t),(t),tvd，当 时满足，故选 C.021(t)vtdt257.【答案】 B【解析】,1 123123230 01(,)(,)12PAAPA因此 B 正确。8.【答案】B【解析】由 可知 A 的特征值为 2,2,1,因为 ，A 可相似对角化，0E()rE即 由 可知 B 特征值为 2,2,1.因为 ，B 不可相似对角化，102A 3(2)显然 C 可相似对角化， ，但 B 不相似于 C.AC9.【答案】 【解析】2yx2limli(1arcsin)1,limliarcsin,2xxxxyyx10.【答案】 【解析】182 202coscos,1sin()s11 8t
10、tttt tdyxdytexedydx xt 11.【答案】1【解析】 2000220ln()1ln()()1.()xdxddxdx12.【答案】 【解析】 故yxe,(1),()(),yyyyxfefxefxedxc，因此 ，即 ，再由 ，可得()yfc0ccC0f(,).xe13.【答案】 .【解析】交换积分次序：lncos1111000tantantalncos1xyxddyxd14.【答案】-1【解析】设 ，由题设知 ，故2A故 .412133aa115.【答案】 【解析】 ，令 ，则有203limxtedxtu00 0x xt xuuede003322031022=limlilili
11、xxuuxxuxeded原 式16.【答案】 【解析】2 1100(,)(,)xxdydyff结论： 12121002 2 2 1120(,cos)(,)sin(,)(,)0(,)(i)sinsicos,),(,xxxxxx xxyfefdf ffffeffexffedy102 1120(,)(,)xxfdyfff17.【答案】 【解析】4 211 12202001 11limln()ln()ln()(ln)2 4nk xxdxdxd 18.【解析】两边求导得：（1）233xy令 得01对（1）式两边关于 x 求导得 （2）2630xyy将 代入原题给的等式中，得 ，x1or将 代入（2）得
12、将 代入（2）得1,y()0y,0xy(1)20y故 为极大值点， ； 为极小值点，x11x(1)19.【解析】（I） 二阶导数，()fx0()(1),limxff解：1）由于 ，根据极限的保号性得 有 ，即0lix0,(,)x(0fx()0fx进而 又由于 二阶可导，所以 在 上必连续(,)f有 ()ff1那么 在 上连续，由 根据零点定理得：至少存在一点 ，使f10,1 (,1)，即得证()0（II）由（1）可知 ， ，令 ，则()f(,)(0f使 ()()Fxfx(0)f由罗尔定理 ，则 ，对 在 分别使用罗,0使 )F,尔定理： 且 ，使得 ，即12(0)(,)1212,(,12()在
13、 至少有两个不同实根。得证。()Fxfxf,)20.【解析】2 2sin22 20 511 co4DDDDdydyxdyxdrd21.【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线,()px()YX()pYyx,令 得 。由 得 ，即1()()YyX0()pxyp()yx。令 ，则 ，按照齐次微分方程的解法不难解出xyux,21ln()arctnl|uC22.【解析】 （I）证明：由 可得 ，即 线性相关，3121230123,因此， ，即 A 的特征值必有 0。又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有120A1 个 0，另外两个非 0.且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212
14、,0 ()2r（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有 1 个解向量，()2rA3()1rA0x由 可得 ，则 的基础解系为 ，1230123,210Ax12又 ，即 ，则 的一个特解为 ，123123,Ax1综上， 的通解为Ax,1kkR23. 【解析】，其中123(,)TfxXA241a由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，123(,)Tf 21y故 ，214()|00rAa将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则2a()2rA214A，12314| 0,0,642E由 ，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为 ；(3)0x 1由 ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为(6)Ex201由 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为(0)Ex312令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可：123,P1360P123,，123,6TTT则 ，1231120611Q360TQA21231(,) xQyf
