1、 1 / 12模块一 有理数基本概念定 义 示例剖析正数：像 、 、 等的数，叫做正数在小学学310.过的数，除 外都是正数正数都大于 0负数：像 、 、 、 等在正数前加上.27528“ ”（读作负）号的数，叫做负数负数都小于 既不是正数，也不是负数0正数：1，2.5， ，43负数： ， ， ，512一个数字前面的“ ”， “ ”号叫做它的符号正数前面的“ ”可以省略，注意 与 表示是同一个正数3用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量譬如：用正数表示向南，那么向北 可以
2、用负数表示为 km3km有理数：整数与分数统称有理数()正 整 数 自 然 数整 数 零有 理 数 按 定 义 分 类 负 整 数正 分 数分 数 负 分 数()正 整 数正 有 理 数 正 分 数有 理 数 按 符 号 分 类 零 负 整 数负 有 理 数 负 分 数 正整数：1，2，10，负整数： ， ， ，3615正分数： ，1.5， ，20.负分数：， ， ，153.21.6注： 正数和零统称为非负数； 负数和零统称为非正数； 正整数和零统称为非负整数； 负整数和零统称为非正整数【夯实基础】【例 1】 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）A节约汽油 10 升和浪费粮食 10kgB向东
3、走 8 公里和向北走 8 公里C收入 300 元和支出 100 元D身高 和身高10cm9c第一讲 有理数与数轴2 / 12 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ）A前进 米的意义是后退 米1818B 万元的意义是亏损 万元44C收入的相反意义是支出D后退 米的意义是前进 米 如果零上 记作 ，那么零下 记作（ ） 5 5A B C D105 10 如果水位升高 时水位变化记作 ，那么水位下降 记作_ ，水位不4m4m3m升不降时水位变化记作_ . 甲，乙两地的海拔高度分别为 200 米， 米，那么甲地比乙地高出（ ） 0A200 米 B50 米 C300 米 D
4、350 米 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ （ ） ”字样，请问603l“ ”是什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 ，603l 60l， ， ， ，问抽查产品的容量是否合格？1ml58973ml62l 在下表适当的空格里打上“”号整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数01.540.623.198【解析】 C ； B； C； ，0； D ；3 “ ”表示每瓶饮料容量最小可以是 ，最大可以是6ml 603ml，抽出的 5 瓶容量均在 与 之间，因此合格60+3l 630mll整数分数正数负整数正分数非负数非负整数无理数0 1.54 0.62 3 .
5、1 983 / 12【能力提升】【例 2】 一种零件的长度在图纸上是 米，表示这种零件加工要求最大0.52不超过 米，最小不小于 米（北京师范大学附属实验中学） 1 是（ ）A最小的整数 B最小的正整数 C最小的自然数 D最小的有理数 ， ， ， ， ， ， ， ， ，以上各数中 4.5602.410.3.14属于负数， 属于非正数， 属于非负有理数. 在 15， ，0.15， ， ， 中，负分数的个数是（ ） 382.85A1 B 2 C3 D4 （人大附中期中）【解析】 20.05 19.95 B 属于负数的有： ， ， ， ；属于非正数4.5120.31的有： ， ， ， ， ；属于非负
6、有理数： 6，0， ， B .4.5012.31.4模块二 数轴定 义 示例剖析数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线-1 10 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变 数轴的画法画一条水平的直线；在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：确定向右的方向为正方向，用箭头表示；选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，画数轴的常见错误：2 3没有原点1 20没有正方向2 3
7、4没有原点单位长度不统一4 / 12并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致0没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来注意：数轴上的点不都代表有理数，如 -1 43210利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应的数因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数b a0 1【夯实基础】【例 3】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“ ”连接153.402.52， ， ， ， ， ，（北京 101 中学期中） 和 的大小关系是： _40.9.9 数轴上与原点的距离是 3 个单位长度的点所表示的数是_（北京四中期中） 数轴上点
8、 对应的数为 ，那么与 相距 个单位长度的点 所对应的数是AA1B_ 数轴上的点 、 分别表示数 和 ，点 是 的中点，则点 所表示的数是B3CBC_（人大附中单元测试） 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为 在数轴上任取一条长度为 的线段，19则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .【解析】 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示） ，在数轴上，右边的数总比左边的数大，故 .13.502.54-3.5 -112 +542.5120-4 -3 -2 -1 543210 ； 或 ; ; ， ，1，2; 2000； 0-1.3 2.65 / 12【能力提升
9、】【例 4】 在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了 2 个单位长度，再向左移动 3 个单位长度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ）A5 B1 C 1D 5 一个点从数轴上表示 的点开始，先向右移动 个单位长度，再向左移动 个单位212长度，则终点表示的数是_ 数轴上的点 对应的数是 ，一只蚂蚁从 点出发沿着数轴向右以每秒 3 个单位1A长度的速度爬行至 点后，用 秒的时间吃光了 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返B2B回 点，共用去 6 秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？ 点与 点的距离是A A多少个单位长度？ 点对应的数是多少？【解析】 C； ；3 蚂蚁 共爬行 12 个单位长度； 点到
10、 点的距离为 6 个单位长度； 点对应的数s AB是 554BA1 2 30-1【例 5】 已知数轴上有 A、B 两点，它们之间的距离为 1，点 A 与原点的距离为 3，那么点B所对应的数为 . 在数轴上， 点和 点的距离是 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍，那么 点NONN表示的数是_. 已知下图中数轴上线段 MO(O 是原点) 的七等分点 A、B、C、D、E、F 中，只有两点对应的数是整数，点 M 对应的数 ，那么 m 可以取的不同值有 10个，m 的最小值为 . OFEDCBAM【解析】 4 或 2 或 或 .4 N 点与 O 点的距离是 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4
11、 倍. 若 N 点在数 0 和 30 之间，设 N 点到 O 点的距离为 x，则 5x=30，x=6.所以N=24. 若 N 点在 30 右边，设 N 点到 O 点的距离为 x，那么 N 点到 30 所对应的点的距离即为 x，O 点到 30 所对应的点的距离为 3x，则 3x=30，x=10.所以 4x=40.N=40.N 点表示的数是 24 或 40. 七等分点 A、B、C、D、E、F 中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论：6 / 12若点 F 为整数，则有点 A、B、C 、D、E 均为整数，不符合题意；若点 E 为整数，则有点 A 和点 C 都为整数，也不符合题意；若点 D
12、为整数，则点 A 为整数，符合题意；若点 A 或点 B 或点 C 为整数，则都只有一点为整数，不符合题意.通过以上的分析，可以发现只有点 A 和点 D 对应的数为整数.由题意得：对应的数为整数的两点为点 A 和点 D， 为整数，且 和 都不为整数，又 m ，73m72m01解得： 或 或 .8314【拓展】如图，已知数轴上 、 、 、 四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距 1 个ABCD单位，如果 对应的实数为 ， 对应的实数为 ，且 ，那么数轴上的原点ab29a应该是 、 、 、 中的哪一点？ DCBA【解析】 从数轴上可以看出： ，且 ，由于 ，所以 ，ba429ba5a所以比 大 5
13、 的 是原点。ac模块三 相反数、倒数定 义 示例剖析相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数特别地，0 的相反数是 0相反数必须成对出现，不能单独存在例如： 和 互为相反数，或者说 是55的相反数， 是 的相反数；例如： 与 互为相反数，而 与 虽332然符号不同，但它们不是相反数求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可一般地，数 的相反数是 ；这里以 表示任aa意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式注意 不一定是负数当 时， ；当 时， ；当00时， a例如：3 的相反数为 的相反数为(3)0 的相反数为 0(3)互为相反数的两个数的和为零，即若 与 互为a
14、b相反数，则 ；b反之，若 ，则 与 互为相反数0aab一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等例如：3 与 互为相反数，则 3+ =0(3) 4-4 07 / 12多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“ ”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“ ”号，也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“ ”号，则化简后只保留一个“ ”号，即“奇负偶正” （其中“奇偶”是指正数前面的“ ”号的个数的奇偶数， “负正”是指化简的最后结果的符号）例如： +65（ -）倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数 ， 互为ab倒数，则 ；反之亦然ab负倒数：乘积为 的两个数互为负倒数若 ，
15、互为负倒数，则 反之亦然例如： ，3 与 互为倒数.1若 ,则 与 互为负倒数.13倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；互为倒数的两个数的乘积一定是 ；0 没有倒数；1求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.【夯实基础】【例 6】 7 的相反数（ ）A B7 C 1 17D 7（北京市中考题） 下列正确的是（ ）A一个数的相反数一定是负数 B 和 互为相反数3.14C所有的有理数都有相反数 D 和 互为相反数 如果 ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数0a ； ； ； ； ()()a()a()aa 的倒数是（ ）3A B C D31133（北京市中考题）【解析】 D
16、C ，正数； ，负数； ，负数；aaa ，正数； ，正数 = 选 A 【能力提升】8 / 12【例 7】 与 互为相反数； 是 的相反数312a 的相反数是 ； 是 的相反数24b 4 与 互为相反数， 与 互为相5ab反数， 与 互为相反数7bc【解析】 ， ； ， ； ； 5， ，312a4ab7c【例 8】 若 与 互为相反数，则 37a若 、 都是有理数，且使得四个两两不相等的数 、 、 、 能分成xy 4x27y两组，每组的两个数是互为相反数，则 的值等于 xy【解析】 ；73有两对相反数，初看没法确定 4 个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于互为相反数的两个数的和为 0，所以
17、这 4 个数的和仍为 0，即 ，4+270xy得到 1xy【例 9】 已知有理数 a、b 在数轴上表示如图，现比较 a、b、 、 的大小，正确的是（ b）a b0A BabaaC D已知 为有理数，且 ， ， ，将四个数 按由小到大的, 0ab0,b顺序排列是 【解析】 C借助数轴标出 的大概位置，知,bab【探索创新】【例 10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞” ，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌比如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每
18、个数位上的数字都立方，再相加得到9 / 12一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定不变量的数 ，我们称它为数字“黑洞” ， 为何具有如此魔力？通TT过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘请问，数字“黑洞” 【解析】 从一个具体的数操作，发现规律；例如选择数字 3，进行一次运算后的结果是 ；273进行第二次运算后的结果是 ；51723进行第三次运算后的结果是 ；进行第四次运算后的结果是 ；15313所以结果 153T【例 11】 电子跳蚤落在数轴上的某点 ，第一步从 向左跳 1 个单位到 ，第二步由0K01K向右跳 2 个单位到 ，第三步由 向左跳
19、 3 个单位到 ，第四步由 向右跳1K22334 个单位到 ，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 所表示4 0的数恰是 19.94，试求电子跳蚤的初始位置 点所表示的数.0【解析】 .设 点表示的有理数为 x，则 ， ， 点所表示的有理数分别为0631210，1x， ， ，由题意得：231x 9432，解得 .9094. 6【例 12】 动点 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 也从原点出发向数轴正方向A B运动，3 秒后，两点相距 15 个单位长度已知动点 ， 的速度比是 ， （速度单A1:4位：单位长度/秒）x0 3 6 9 12-3-6-9-12 求出两个动点运动的
20、速度，并在数轴上标出 ， 两点从原点出发运动 3 秒时的位置 若 ， 两点从中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两AB个动点的正中间？ 若 ， 两点从中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点 也同时从C点位置出发向 点运动，当遇到 点后，立即返回向 点运动，遇到 点后ABB又立即返回向 点运动，如此往返，直到 追上 时，点 立即停止运动若点 一直以 20 单位长度/秒的速度匀速运动，那么点 从开始运动到停止运动，C行驶的路程是多少个单位长度？（北京东城区期末）【解析】 设 的速度为 单位长度/ 秒， 的速度为 单位长度/ 秒AxB4x依题意， 3(4)151x即： 的速度为 1 单位长度/ 秒， 的速度为 4 单位长度/秒3 秒时， 的位置在 ， 的位置在 12 3 设 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？10 / 121243.8x 设 秒后 追上 ，依题意，yBA5201点 从开始运动到停止运动，行驶的路程是 100 个单位长度 C
