1、第二十五章 概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件） ，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，必然事件发生的概率为 1，即 P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为 0，即 P（不可能事件）=0；如果 A 为不确定事件（随机事件） ，那么 0P （A）1随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第
2、一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算如，利用计算器产生随机数来模拟实验3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 mn 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记为
3、 P（A）=p （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现（3）概率取值范围：0p1（4）必然发生的事件的概率 P（A ）=1 ；不可能发生事件的概率 P（A）=0（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与 1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件 A 的概率 P（ A）=事件
4、 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数（2）P（必然事件）=1（3）P（不可能事件）=02. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区域 g 包含在区域 G 内（如图） ，而区域 G 与 g 都是可以度量的（可求面积） ，现随机地向 G 内投掷一点 M，假设点 M 必落在 G 中，且点 M 落在区域 G 的任何部分区域 g 内的概率只与 g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与 g 的位置和形状无关具有这种性质的随机试验（掷点） ，称为几何概型关于几何概型的随机事件“ 向区域 G 中任意投掷一个点 M，点 M 落在 G 内的部分区域 g”的
5、概率 P 定义为：g 的度量与 G 的度量之比，即 P=g 的测度 G 的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率计算方法是长度比，面积比，体积比等3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，求出概率（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和
6、其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果 n（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平（2）概率=所求情况数总情况数25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据新课标要求，只要设计出一个模拟实验即可
