1、第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 22abc勾股定理的证明：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sabc大正方形面积为 22()Sabab22方法三： ， ，化简得证1()梯 形 21SADEBabc梯 形17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形.22abc3、互逆命题的概念如果一个命
2、题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，22abcabc称 ， ， 为一组勾股数abc常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 等bac baccabcab cbaHGFED CBA abccbaEDCBA例、在 RtABC 中，a=3，b=4，求 c错解 由勾股定理，得 c= = =52ab243诊断 这里默认了C 为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当 ba 时，B 可以为直角，故
3、本题解答遗漏了这一种情况 当B 为直角时，c= = =2ba2437例、已知 Rt ABC 中，B=RT，a= ，c= ，求 b.2错解 由勾股定理，得B= = =2ca22()(6诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a 2b 2=c2”殊不知，只有当C=Rt时，a 2b 2=c2才能成立，而当B=Rt时，则勾股定理的表达式应为 a2c 2=b2正确解答 B=Rt，由勾股定理知 a2c 2=b2b= = =2()(10例、若直角三角形的两条边长为 6cm、8cm，则第三边长为_错解 设第三边长为 xcm由勾股定理，得 x2=628 2x= = =10268364即第三边长为 10cm诊断 这里在
4、利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，第三边可能是斜边，也可能是直角边正确解法 设第三边长为 xcm若第三边长为斜边，由勾股定理，得x= = =10(cm)268364若第三边长为直角边，则 8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x= = = (cm)28627因此，第三边的长度是 10cm 或者 cm.例、如图，已知 RtABC 中，BAC=90 ，AD 是高，AM 是中线，且 AM= BC= AD.又 RTABC123的周长是(6+2 )cm.求 AD3错解 ABC 是直角三角形，AC:AB:BC=3:4:5ACAB BC=345AC= (6+2
5、)= ，AB= (6+2 )= ，BC= (6+2 )=312324136251356又 =ACBADAD= =362315= = (3+ )(cm)(3)2(3)55诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特殊代替一般的错误正确解法AM= 23ADMD= =2(3)3又MC=MA，CD=MD 点 C 与点 M 关于 AD 成轴对称AC=AM，AMD=60= CB=30，AC= BC，AB= BC123AC+AB+BC= BC+ BC+BC=6+ .23BC=4 BC= AD， AD= = (cm)123123BC
6、例、在ABC 中，abc=91512， 试判定ABC 是不是直角三角形错解 依题意，设 a=9k，b=15k，c=12k(k0) a 2b 2=(9k)2(15k) 2=306k2，c2=(12k) 2=144k2，a 2b 2c2ABC 不是直角三角形诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理正确解法 由题意知 b 是最长边设 a=9k，b=15k，c=12k(k0) a 2c 2=(9k)2(12k) 2=81k2144k 2=225k2b2=(15k)2=225k2，a
7、2c 2=b2ABC 是直角三角形例、已知在ABC 中，AB AC，AD 是中线，AE 是高求证：AB2AC 2=2BCDE错证 如图AEBC 于 E，AB 2=BE2AE 2，AC2=EC2AE 2AB 2AC 2=BE2EC 2=(BEEC)(BEEC)=BC(BEEC)BD=DC， BE=BCEC=2DCEC AB 2AC 2=BC(2DCECEC)=2BCDE诊断 题设中既没明确指出ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形高 AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意而这里仅只证明了其中的一种情况，这
8、就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成例、已知在ABC 中，三条边长分别为 a，b，c，a=n，b= -1，c= (n 是大于 2 的偶数).求证:ABC 是直角三角形.24n24错证 1 n 是大于 2 的偶数，取 n=4，这时 a=4，b=3，c=5a 2b 2=423 2=25=52=c2，ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)由勾股定理知ABC 是直角三角形正解 a 2+b2=n2+( -1)2=n2+ - +1= + +14n4162n42c2=( )2=( )2= + +1n42由勾股定理的逆定理知，ABC 是直角三角形.诊断 证明 1 错在以特殊取代一般
