1、1.（2017重庆）对任意一个三位数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ，将一个“相异数” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） 例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6（1）计算：F（243） ，F（617） ；（2）若 s，t 都是“ 相异数 ”，其中s=100x+32，t=150+y（1 x9，1y
2、9，x ，y 都是正整数） ，规定：k= ，当 F（s）+F（t）=18 时，求 k 的最大值2.（2016重庆）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=pq（p，q 是正整数，且 pq） ，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称pq 是 n 的最佳分解并规定：F（n）= 例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216 243，所有 34 是 12 的最佳分解，所以 F（12）= （1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m ）=1；（2）如果
3、一个两位正整数 t， t=10x+y（1xy9，x， y 为自然数） ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“ 吉祥数”中 F（t ）的最大值3.（2015重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”例如：自然数 64746 从最高位到个位排出的一串数字是 6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以 64746 是“和谐数” 再如：33，181，212，4664，都是“和
4、谐数”（1）请你直接写出 3 个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数” 能否被 11 整除，并说明理由；（2）已知一个能被 11 整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为 x（1x4，x 为自然数） ，十位上的数字为 y，求 y 与 x 的函数关系式4（重庆南开 2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数” 如：2=1 3（1） 3，26=3 313，所以 2、26 均为“麻辣数”【立方差公式 a3b3=（a b） （a 2+ab+b2） 】（1）请判断 98 和 169 是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“
5、求出在不超过 2016 的自然数中，所有的麻辣数 之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用 2k+1 表示，再结合立方差公式”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程5. （2016 春重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5 232，16 就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=0202， 1=1202，3=2 212，4=2 202，5=3 222，7=4 232，8=3 212，9=5 242，11=6 252，小王认为小明的方法太麻烦
6、，他想到：设 k 是自然数，由于（k+1） 2k2=（k+1+k） （k+1k）=2k+1所以，自然数中所有奇数都是智慧数问题：（1）根据上述方法，自然数中第 12 个智慧数是 15 （2）他们发现 0，4，8 是智慧数，由此猜测 4k（k3 且 k 为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明 4k（k3 且 k 为正整数）都是智慧数（3）他们还发现 2，6，10 都不是智慧数，由此猜测 4k+2（k 为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断 26 是否是智慧数，并说明理由6.（2015 春重庆一中月考）我们用x表示不大于 x 的最大整数，例如1.5=1，2.5=3请解决下列问题：（1）
7、= 3 ， = 4 （其中 为圆周率） ；（2）已知 x、y 满足方程组 ，求 x、y 的取值范围；（3）当1x 2 时，求函数 y=x22x+3 的最大值与最小值7.（2016重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数） 2+（右边数） 2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数 251它中间的数字是 5，左边数是 2，右边数是 12 2+12=5，251 是一个平方和数又例如：对于整数 3254，它的中间数是 25，左边数是 3，右边数是 4，3 2+42=252， 34 是一个平方和数当然 152 和 4
8、253 这两个数也是平方和数；双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2左边数 右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数 163，它的中间数是 6，左边数是 1，右边数是 3，213=6，163 是一个双倍积数，又例如：对于整数 3305，它的中间数是 30，左边数是 3，右边数是 5，235=30，3305 是一个双倍积数，当然 361 和 5303 这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母 a 表示一个整数分出来的左边数，用字母 b 表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十
9、位数为 9，则该三位数为 390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 4，则该三位数为 241 或 142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数则 a，b 应该满足什么数量关系；说明理由；（3） 为一个平方和数， 为一个双倍积数，求 a2b2重庆中考阅读答案：（2017重庆）对任意一个三位数 n，如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ，将一个“相异数” 任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F（n） 例如 n=123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到
10、 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666111=6，所以 F（123）=6（1）计算：F（243） ，F（617） ；（2）若 s，t 都是“ 相异数 ”，其中s=100x+32，t=150+y（1 x9，1y9，x ，y 都是正整数） ，规定：k= ，当 F（s）+F（t）=18 时，求 k 的最大值【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）111=9；F（617 ）=（167+716 +671）111=14（2）s，t 都是“ 相异数 ”，s=100x +32，t=150+y ，F（s）= （302+10x+2
11、30+x +100x+23）111=x+5， F（t ）=（ 510+y+100y+51+105+10y）111=y +6F（t）+F（ s）=18 ，x+5+y+6=x+ y+11=18，x+y=71x9，1y9，且 x，y 都是正整数， 或 或 或 或 或 s 是“相异数 ”，x2，x 3t 是“相异数”，y1，y5 或 或 ， 或 或 ， 或 或 ，k 的最大值为 （2016重庆）我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n=pq（p，q 是正整数，且 pq） ，在 n 的所有这种分解中，如果 p，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称pq 是 n 的最佳分解并规定：F（n）=
12、例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216 243，所有 34 是 12 的最佳分解，所以 F（12）= （1）如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b 的平方，我们称正整数 a 是完全平方数求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F（m ）=1；（2）如果一个两位正整数 t， t=10x+y（1xy9，x， y 为自然数） ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“ 吉祥数”中 F（t ）的最大值【解答】解：（1）对任意一个完全平方数 m，设 m=n2（ n 为正整数） ，|nn| =0，nn
13、 是 m 的最佳分解，对任意一个完全平方数 m，总有 F（m ）= =1；（2）设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t，则 t=10y+x，t 为“吉祥数”，t t=（10y+x）（10x+y）=9（y x）=18 ，y=x+2，1xy9，x，y 为自然数，“吉祥数” 有： 13，24，35，46，57，68，79，F（13）= ，F （24）= = ，F（35）= ，F （46）= ，F（57）= ，F（68）=，F（79）= ， ，所有“吉祥数” 中，F （t）的最大值是 （2015重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出
14、的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”例如：自然数 64746 从最高位到个位排出的一串数字是 6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以 64746 是“和谐数” 再如：33，181，212，4664，都是“和谐数”（1）请你直接写出 3 个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数” 能否被 11 整除，并说明理由；（2）已知一个能被 11 整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为 x（1x4，x 为自然数） ，十位上的数字为 y，求 y 与 x 的函数关系式解答： 解：（1）四位“和谐数” ：1221，1331，1111，6666；任意
15、一个四位“和谐数” 都能被 11 整数，理由如下：设任意四位数“和谐数” 形式为：abba（a、b 为自然数） ，则a103+b102+b10+a=1001a+110b， =91a+10b四位数“ 和谐数 ”abba 能被 11 整数；任意四位数“ 和谐数 ”都可以被 11 整除（2）设能被 11 整除的三位“和谐数”为：xyx，则 x102+y10+x=101x+10y，=9x+y+ ，1x4，101x+10y 能被 11 整除，2xy=0，y=2x（1 x4） 4 （重庆南开 2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数” 如：2=1 3（1）
16、3，26=3 313，所以 2、26 均为“麻辣数”【立方差公式 a3b3=（a b） （a 2+ab+b2） 】（1）请判断 98 和 169 是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过 2016 的自然数中，所有的麻辣数 之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用 2k+1 表示，再结合立方差公式”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程【解答】解：设 k 为整数，则 2k+1、2k1 为两个连续奇数，设 M 为“麻辣数 ”，则 M=（2k+1） 3（2k1） 3=24k2+2；（1）98=5 333，故 9
17、8 是麻辣数；M=24k 2+2 是偶数，故 169 不是麻辣数；（2）令 M2016，则 24k2+22016，解得 k2 84，故 k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故 M 的和为 24（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+210=68605.（2016 春重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=5 232，16 就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=0202， 1=1202，3=2 212，4=2 202，5=3 222，7=4 232
18、，8=3 212，9=5 242，11=6 252，小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设 k 是自然数，由于（k+1） 2k2=（k+1+k） （k+1k）=2k+1所以，自然数中所有奇数都是智慧数问题：（1）根据上述方法，自然数中第 12 个智慧数是 15 （2）他们发现 0，4，8 是智慧数，由此猜测 4k（k3 且 k 为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明 4k（k3 且 k 为正整数）都是智慧数（3）他们还发现 2，6，10 都不是智慧数，由此猜测 4k+2（k 为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断 26 是否是智慧数，并说明理由【解答】解：（1）继续小明的方法，12=
19、4 222，13=7 262，15=8 272，即第 12 个智慧数是15故答案为：15；（2）设 k 是自然数，由于（k+2） 2k2=（k+2+k） （k+2k）=4k+4=4（k+1） 所以，4k（k3 且 k 为正整数）都是智慧数（3）令 4k+2=26，解得：k=6，故 26 不是智慧数6. （2015 春重庆一中月考）我们用x表示不大于 x 的最大整数，例如1.5=1，2.5=3请解决下列问题：（1）= 3 ， = 4 （其中 为圆周率） ；（2）已知 x、y 满足方程组 ，求 x、y 的取值范围；（3）当1x 2 时，求函数 y=x22x+3 的最大值与最小值【解答】解：（1）由
20、题意可得：=3，=4；故答案为：3，4；（2）解方程组得： ，则1 x 0，2 y3；（3）当1x 0 时，x= 1，此时 y=（ 1） 22（1）+3=6；当 0x1 时，x=0，此时 y=3；当 1x2 时，x=1，此时 y=1221+3=2；当 x=2 时，x=2 ，此时 y=2222+3=3；综上所述：y 最大 =6，y 最小 =27.（2016 年重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数） 2+（右边数） 2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数 251它中间的数字是 5，左边数是 2，右边数是
21、12 2+12=5，251 是一个平方和数又例如：对于整数 3254，它的中间数是 25，左边数是 3，右边数是 4，3 2+42=252， 34 是一个平方和数当然 152 和 4253 这两个数也是平方和数；双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2左边数 右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数 163，它的中间数是 6，左边数是 1，右边数是 3，213=6，163 是一个双倍积数，又例如：对于整数 3305，它的中间数是 30，左边数是 3，右边数是 5，235=30，3305 是一个双倍积数，当然 361 和 5303 这两个数也是双倍
22、积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母 a 表示一个整数分出来的左边数，用字母 b 表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为 9，则该三位数为 390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 4，则该三位数为 241 或 142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数则 a，b 应该满足什么数量关系；说明理由；（3） 为一个平方和数， 为一个双倍积数，求 a2b2【解答】解：（1）三位整数为平方和数，9=3 2+02，左边数为 3，右边数为 0，该三位数为 390三位整数为双倍积数，且十位数字为 4，4=221，该三位数为 241 或 142故答案为 390，241 或 142（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数则 a，b 应该满足a2+b2=2ab，即（ab ） 2=0，a=b（3）由题意 ，易知（ab） 2=25， （a+b） 2=1225，a 0 ，b 0，a b=5，a+b=35，a 2b2=175
