1、高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 1 页（共 15 页）高一上学期函数单调性的证明练习题1函数 y=f（x）对于任意 x、y R，有 f（x+y ）=f（x）+f （y ）1，当 x0 时，f （x）1，且 f（3）=4 ，则（ ）Af （x）在 R 上是减函数，且 f（1）=3 Bf（x）在 R 上是增函数，且 f（1）=3C f（ x）在 R 上是减函数，且 f（1）=2 Df（x）在 R 上是增函数，且 f（1）=22已知函数 y=f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（x ）0（x0） 试判断 F（x）= 在（0 ，+） 上的单调性并给出证明过程3已知函数 y=f（x）在（0，+
2、）上为减函数，且 f（x ）0（x0） ，试判断 f（x ）= 在（0 ，+）上的单调性，并给出证明过程高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 2 页（共 15 页）4已知函数 f（x）对任意 x，y R，总有 f（x ）+f （y ）=f（x+y） ，且当 x0 时，f（x）0，f （1）= （1）求 f（0） ；（2）求证：f（x）在 R 上是减函数；（3）求 f（x）在3，3上的最大值和最小值5函数 f（x）对任意 a，b R，有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，且当 x0 时，f（x ）1（）求证：f（x）是 R 上的增函数；（）若 f（4）=5，解不等式 f（3m 2m3）2高
3、一上学期 函数单调性的证明练习题 第 3 页（共 15 页）6函数 f（x）对任意的 a，b R，都有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，并且当 x0 时，f（x）1（1）求证：f（x）是 R 上的增函数；（2）若 f（4）=5 ，解不等式 f（3m 2m2）37函数 f（x）对任意的 a、b R，都有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，并且当 x0 时，f（x）1（1）求证：f（x）是 R 上的增函数；（2）若 f（2）=3 ，解不等式 f（m 2）3高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 4 页（共 15 页）8已知定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x +y）=f（x ）+f
4、（y）+1，当 x0 时，f（x）1 ；（）求：f（0）的值，并证明 f（x ）在 R 上是单调增函数；（）若 f（1）=1，解关于 x 的不等式；f（x 2+2x）+f （1 x）49定义在 R 上的函数 y=f（x）对任意的 x、y R，满足条件：f（x +y）=f （x ）+f（y）1，且当 x0 时，f（x） 1（1）求 f（0）的值；（2）证明：函数 f（x）是 R 上的单调增函数；（3）解关于 t 的不等式 f（2t 2t）1高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 5 页（共 15 页）10定义在 R 上的函数 y=f（x ） 对任意的 x，y R，满足条件：f（x +y）=f（x
5、）+f（ y） 2，且当 x0 时，f（x）2（1）求 f（0）的值；（2）证明：函数 f（x）是 R 上的单调增函数；（3）解不等式 f（2t 2t3）2011已知 f（ x）是定义在 R 上的恒不为零的函数，且对于任意的 x，yR 都满足 f（x）f（y）=f（x+y） （1）求 f（0）的值，并证明对任意的 xR，有 f（ x）0；（2）设当 x0 时，都有 f（x）f（0） ，证明：f（x）在（，+）上是减函数高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 6 页（共 15 页）高一函数单调性的证明练习题参考答案与试题解析1函数 y=f（x）对于任意 x、y R，有 f（x+y ）=f（x）+
6、f （y ）1，当 x0 时，f （x）1，且 f（3）=4 ，则（ ）Af （x）在 R 上是减函数，且 f（1）=3 Bf（x）在 R 上是增函数，且 f（1）=3C f（ x）在 R 上是减函数，且 f（1）=2 Df（x）在 R 上是增函数，且 f（1）=2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由 f（3）=f（1）+f （2）1=f（1 ）+f（ 1）+f（1）11=4，解出 f（1） 【解答】解：设 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=f（x 1x2+x2） f（x 2）=f（x 1x2）+f（x 2）1 f（x 2）=f（x 1x2）1 11=0，即 f（x 1
7、）f （x 2） ，f（ x）为增函数又f（ 3）=f （1 ）+f（2）1=f （1）+f（1）+f（1 ） 11=3f（1）2=4，f（ 1）=2故选：D2已知函数 y=f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（x ）0（x0） 试判断 F（x）= 在（0 ，+） 上的单调性并给出证明过程【分析】首先，设 x1，x 2（0，+） ，且 x1x 2，然后根据函数 f（x）的单调性进行证明即可【解答】解：函数 F（x）= 为（0，+）上减函数，证明如下：任设 x1，x 2（0，+）且 x1x 2，y=f（x）在（0，+）上为增函数，f（ x1）f （x 2） ，f （x 1）0，f （x 2）0
8、，高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 7 页（共 15 页）F（x 1）F（x 2）= = ，f（ x1）f （x 2） ，f（ x2）f（x 1）0 ，f（ x1）0，f （x 2）0，f（ x1）f（x 2）0，F（x 1）F（x 2）0，即 F（x 1）F（x 2） ，则 F（x）为（0，+）上的减函数3已知函数 y=f（x）在（0，+）上为减函数，且 f（x ）0（x0） ，试判断 f（x ）= 在（0 ，+）上的单调性，并给出证明过程【分析】首先，设 x1，x 2（0，+） ，且 x1x 2，然后，比较大小，从而得到结论【解答】解：函数 为（0，+）上增函数，证明如下：任设 x1
9、，x 2（0，+）且 x1x 2，y=f（x）在（0，+）上为减函数，f（ x1）f （x 2） ，f （x 1）0，f （x 2）0，= ，f（ x1）f （x 2） ，f（ x2）f（x 1）0 ，f（ x1）0，f （x 2）0，f（ x1）f（x 2）0，g （x 1） g（x 2）0 ，高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 8 页（共 15 页） 为（0，+）上的增函数4已知函数 f（x）对任意 x，y R，总有 f（x ）+f （y ）=f（x+y） ，且当 x0 时，f（x）0，f （1）= （1）求 f（0） ；（2）求证：f（x）在 R 上是减函数；（3）求 f（x）在3，
10、3上的最大值和最小值【分析】 （1）令 x=y=0f（0）=0；（2）令 y=x 即可证得 f（x）= f（x ） ，利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得 f（x）是 R 上的减函数；（3）利用 f（x）在 R 上是减函数可知 f（x ）在 3，3上也是减函数，易求 f（3）=2，从而可求得 f（x）在3，3上的最大值和最小值【解答】解：（1）令 x=y=0，则 f（0）=0 ；（2）令 y=x，则 f（x）= f（x ） ，在 R 上任意取 x1，x 2，且 x1x 2，则x=x 2x10，y=f（x 2）f（x 1）=f（x 2）+f （ x1）=f（x 2x1）x 2x
11、 1，x 2x10，又x0 时，f（x）0，f（ x2x1）0，即 f（x 2） f（x 1）0，由定义可知函数 f（x）在 R 上为单调递减函数（3）f（x ）在 R 上是减函数，f（ x）在3，3上也是减函数又 f（3）=f（ 2）+f（1）=f （1 ）+f（1）+f（1）=3（ ）=2，由 f（x ）= f（x）可得 f（ 3）= f（3）=2 ，高一上学期 函数单调性的证明练习题 第 9 页（共 15 页）故 f（x）在3，3上最大值为 2，最小值为25函数 f（x）对任意 a，b R，有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，且当 x0 时，f（x ）1（）求证：f（x）是 R 上
12、的增函数；（）若 f（4）=5，解不等式 f（3m 2m3）2【分析】 （）设实数 x1x 2，则 x2x10，利用已知可得 f（x 2x1）1再利用已知可得 f（x 2）=f（x 2x1+x1）=f（x 2x1）+f（x 1） 11 +f（x 1）1=f（x 1）即可；（）令 a=b=2，以及 a=b=1，解得 f（ 2）=3 ，f（1）=2 ，不等式 f（3m 2m3）2化为 f（3m 2m3）f（ 1） ，由（1）可得：f （x）在 R 上是增函数可得3m2m31，解得即可【解答】解：（）证明：设 x1x 2，则 x2x10，当 x0 时，f（x）1，f（x 2x1）1又函数 f（x ）
13、对任意 a，b R 都有 f（a+b）=f（a） +f（b）1，f（ x2）=f（x 2x1+x1）=f（x 2x1）+f（x 1） 11 +f（x 1）1=f（x 1） ，f（ x2）f （x 1） ，f（ x）在 R 上是增函数；（）令 a=b=2，则 f（22）=f（2）+f（ 2）1=5，解得 f（2）=3，再令 a=b=1，则 f（11）=f（1）+f（ 1）1=3，解得 f（1）=2不等式 f（3m 2m3）2化为 f（3m 2m3）f （ 1） 由（1）可得：f（x）在 R 上是增函数3m 2m31，解得 m 1 不等式 f（3m 2m3）2 的解集为（ ，1） 6函数 f（x）
14、对任意的 a，b R，都有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，并且当 x0 时，高一上学期函数单调性的证明练习题 第 10 页（共 15 页）f（x）1（1）求证：f（x）是 R 上的增函数；（2）若 f（4）=5 ，解不等式 f（3m 2m2）3【分析】 （1）先任取 x1x 2，x 2x10由当 x0 时，f （x）1得到 f（x 2x1）1，再对 f（ x2）按照 f（a+b）=f（a）+f （b ）1 变形得到结论（2）由 f（4）=f（2）+f（2）1 求得 f（2）=3，再将 f（3m 2m2）3 转化为f（3m 2m2） f（2） ，由（1）中的结论，利用单调性求解【解答】解：（1）证明：任取 x1x 2，x 2x10f（ x2x1）1f（ x2）=fx 1+（x 2x1）=f（x 1）+f （x 2x1）1f（ x1） ，f（ x）是 R 上的增函数（2）f（4） =f（2）+f（2）1=5，f（ 2）=3f（ 3m2m2）3=f（2） 又由（1）的结论知，f（x ）是 R 上的增函数，3m 2m22，3m2m40，1 m 7函数 f（x）对任意的 a、b R，都有 f（a+b）=f（a）+f （b）1，并且当 x0 时，f（x）1（1）求证：f（x）是 R 上的增函数；（2）若 f（2）=3 ，解不等式 f（m 2）3
