1、1一中自主招生考试数学试题一选择题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）1 （4 分）如果关于 x 的方程 x2ax+a23=0 至少有一个正根，则实数 a 的取值范围是（ ）A2a2 B C D 2 （4 分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给 50 个同学，假设每通知一个同学需要 1 分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（ ）A8 分钟 B7 分钟 C6 分钟 D5 分钟3 （4 分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式 的值等于（ ）A B 6 C D 6
2、4 （4 分） （2008 青岛）如图，把图 1 中的 ABC 经过一定的变换得到图 2 中的 ABC，如果图 1 中 ABC 上点P 的坐标为（a，b） ，那么这个点在图 2 中的对应点 P的坐标为（ ）A （a2，b3） B （a3，b 2） C （a+3，b+2） D （a+2，b+3）5 （4 分）如图，四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的 A，已知： ，则线段 DE 的长是（ ）A B7 C 4+3 D3+46 （4 分）如图，张三同学把一个直角边长分别为 3cm，4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向） ，顶点 A 的位置变化为 A1A2A3，其中第二次翻滚时被
3、桌面上一小木块挡住，使纸板一边 A2C1 与桌面所成的角恰好等于BAC，则 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路程为（ ）A8 cm B8cm C 2 cm D 4 cm二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）7 （4 分）若 x+ =3，则 x2+ = _ 28 （4 分）如图，E、F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB、CD 上的点，AF 与 DE 相交于点 P，BF 与 CE 相交于点 Q，若 SAPD=15cm2，S BQC=25cm2，则阴影部分的面积为 _ cm 29 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，正方形 AEFG 的边长为 1cm如果正方形
4、AEFG 绕点 A 旋转，那么 C、F 两点之间的最小距离为 _ cm10 （4 分）对于正数 x，规定 f（x）= ，计算 f（ ）+f （ ）+f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（1）+f（2）+f（3）+f（98）+f（99）+f （ 100）= _ 11 （4 分）甲，乙，丙 3 人用擂台赛形式进行训练，每局 2 人进行单打比赛，另 1 人当裁判，每局的输方去当下 局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时发现甲共打了12 局，乙共打了 21 局，而丙共当裁判 8 局那么，整个比赛的第 10 局的输方一定是 _ 12 （4 分） （2002 广州）如图所示，在正方形 ABCD 中，
5、AO BD，OE，FG，HI 都垂直于AD，EF，GH，IJ 都垂直于 AO，若已知 SAIJ=1，则正方形 ABCD 的面积为 _ 三解答题（共 6 小题，满分 52 分）13 （6 分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：1，2，3 ，2，7，8，19，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数 a 是集合的元素时，实数 8a 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合（1）请你判断集合1，2，1，4，7 是不是好的集合；（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子14 （8 分） （2007 丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“ 互相踢踺子”游戏，
6、踺子从一人传到另一人就记为踢一次（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由15 （8 分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍拆除旧校舍每平方米需80 元，建造新校舍每平方米需要 800 元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 9000 平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的 90%而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需要 20
7、0 元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？16 （10 分）如图，O 的直径 EF= cm，Rt ABC 中， ACB=90，BAC=30 ，AB= cmE、F、A、B四点共线Rt ABC 以 1cm/s 的速度沿 EF 所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为 t（s ） ，当 t=0s 时，点 B 与点 F 重合（1）当 t 为何值时，RtABC 的直角边与O 相切？（2）当 RtABC 的直角边与 O 相切时，请求出重叠部分的面积（精确到 0.01） 317 （10 分） （2008 广东） （1）如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和
8、DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连接 AC 和 BD，相交于点 E，连接 BC求AEB 的大小；（2）如图 2，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠） ，求AEB 的大小18 （10 分） （2008 益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“ 蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图所示，点 A、B、C 、D 分别是“蛋圆” 与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为（0，3） ，AB 为半圆的直径，半圆圆心 M 的坐标为（1，0） ，半圆半
9、径为 2（1）请你求出“蛋圆” 抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）你能求出经过点 C 的“ 蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D 的“ 蛋圆”切线的解析式答案与评分标准一C ，C ，A ，C ，D ，D二7，40，3 ， ，甲，256，三解：（1）集合1，2不是好的集合，这是因为 81=7，而 7 不是1，2 中的数，所以1，2不是好的集合，1，4，7是好的集合，这是因为 81=7，7 是1，4，7 中的数，84=4， 4 也是1 ，4，7 中的数，87=1， 1 又是1 ，4，7 中的数所以1，4，7是好的集合；（2）答案不唯一集合4、3
10、，4，5 、2，6 、1，2，4，6，7、0 ，8等都是好的集合解：（1）踺子踢到小华处的概率是 树状图如下：列表法如下：小丽 小王 小华 小王 （小丽，小王） （小王，小华）小华 （小华，小丽） （小华，小王）（2）小王树状图如下：4理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是 ，踢到其它两人处的概率都是 ，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小解：（1）由题意可设拆旧舍 x 平方米，建新舍 y 平方米，则答：原计划拆建各 4500 平方米（2）计划资金 y1=450080+4500800=3960000 元实用资金 y2=1.1450080+0.94500800=495080+40
11、50800=396000+3240000=3636000节余资金：3960000 3636000=324000可建绿化面积= 平方米答：可绿化面积 1620 平方米解：（1）BAC=30，AB= ，BC=又O 的直径 EF= ，即半径为 ，ACB=90，当点 B 运动到圆心 O 时，AC 边与O 相切 （如图 1 所示） （1 分）此时运动距离为 FO= ，t= s （2 分）当 BC 边与O 相切时（如图 2 所示） ，设切点为 G连接 OG，则 OGBC （3 分）由已知，BOG=BAC=30，OG= ，BO=2 （4 分）又 FO= ，BF= （此步亦可利用相似求解，请参照给分）此时 s
12、 （5 分）由上所述，当 秒时，Rt ABC 的直角边与O 相切 （6 分）（2）由图 1，此时O 与 RtABC 的重叠部分为扇形 COF （7 分）由已知，COF=60 ， （8 分）由图 2，设 AC 与 O 交于点 M，此时 O 与 RtABC 的重叠部分为扇形 OMGE 加上 OAM （9 分）过点 M 作 MNOG 于 N，则 MN=GC由（1）可知 BG=1则 MN=GC= （10 分） ，MON=25，即 MOE=55 （11 分）5 （12 分）又 OM= ，点 M 到 AB 的距离 h=OMsinMOE1.419， （13 分）SAOM= OAh1.229cm2此时 O 与
13、 RtABC 的重叠部分的面积为 S 扇形 OMEF+SAOM2.67cm2 （14 分）解：（1）如图 3，DOC 和ABO 都是等边三角形，且点 O 是线段 AD 的中点，OD=OC=OB=OA， 1=2=60，4=5又4+5=2=60 ，4=30同理6=30AEB=4+6，AEB=60（2）如图 4，DOC 和ABO 都是等边三角形，OD=OC，OB=OA ，1=2=60又 OD=OA，OD=OB，OA=OC ，4=5，6=7DOB=1+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180， 6+7+AOC=180，25=26，5=6又AEB=85， 8=2+6，AEB=2+65=2
14、+55=2，AEB=60解：（1）根据题意可得：A（1， 0） ，B（3，0） ；则设抛物线的解析式为y=a（x+1） （x3） （a 0） ，又 点 D（0，3）在抛物线上，a（0+1） （0 3）=3，解之得： a=1y=x22x3（3 分）自变量范围：1 x3（4 分）（2）设经过点 C“蛋圆”的切线 CE 交 x 轴于点 E，连接CM，在 RtMOC 中，OM=1，CM=2，CMO=60，OC=在 RtMCE 中，MC=2， CMO=60，ME=4点 C、E 的坐标分别为（ 0， ） ， （ 3，0） （6 分）切线 CE 的解析式为 （8 分）（3）设过点 D（0，3） ， “蛋圆 ”切线的解析式为：y=kx3（ k0） （9 分）由题意可知方程组 只有一组解即 kx3=x22x3 有两个相等实根，k=2（11 分）过点 D“蛋圆”切线的解析式 y=2x3 （12 分）6
