1、1一次函数复习课知识点 1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量） ，特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= x 等都是一次函数，y= x，y=-x 都2121是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k
2、 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当 b=0，k0 时，y= kx 仍是一次函数.（4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数.知识点 2 函数的图象把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线知识点 3 一次函数的图象由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点
3、：直线与 y 轴的交点（0，b） ，直线与 x 轴的交点（- ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正kb比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0） ， （1，k）即可.知识点 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ；（3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与 y 轴交于正半
4、轴上；当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数2（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限） ；如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限） ；如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限） ；如图 1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限） （5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两
5、个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平移一个单位得到的知识点 3 正比例函数 y=kx（k0）的性质（1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点；（2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；（3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小知识点 4 点 P（x 0，y 0）与直线 y=kx+b 的图象的关系（1）如果点 P（x 0，y 0）在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b；（2）如果 x0，y 0是满足函数
6、解析式的一对对应值，那么以 x0，y 0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象上例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时，y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数 y=kx（k0）中只有一个待定系数 k，故只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点）就可求得 k 的值（2）由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个 关于k，b 的方程，
7、求得 k，b 的值，这两 个条件通常是两个点或两对 x，y 的值知识点 6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有 未知3常数系数） ，再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=kx+b 中，k，b 就是待定系数知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为 y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组） ；（3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0）
8、，由题意可知，解 此函数的关系式为 y= ,321bk.35,4 354x【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k0） ；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组） ，解这个方程（或方程组） ，求出待定系数 k，b） ；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设”的关系式 y=kx+b 中） ；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个
9、变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结 （1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即- 0 时，直线与 x 轴正半轴相交；kb当 b=0 时，即- =0 时，直线经过原点；4当 k，b 同号时，即- 0 时，直线与 x 轴负半轴相交kb当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限；当
10、k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限；当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k 10 ，k 20）的位置关系k 1k 2 y
11、1与 y2相交； y1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ；21bk y1与 y2平行；21, y1与 y2重合.21,bk典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=- x； （2）y=- ； （3）y=-3-5x；x（4）y=-5x 2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x 2.215例 2 当 m 为何值时，函数 y=-（m-2）x +（m-4 ）是一次函数？32m基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1
12、）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式例 3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过 18kg，并且每挂 1kg的物体，弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量 x(kg）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并判断 y 是否是 x 的一次函数例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M（）是时间 t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中 t=0 表示中午 12 时，t=1 表示下午 1 时） ，则上
13、午 10 时此物体的温度为 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值例 6 若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x 1，y 1）和点B（x 2，y 2） ，当 x1x 2时，y 1y 2，则 m 的取值范围是（ ）AmO Bm0Cm DmM6例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所示，求函数表达式例 8 求图象经过点（2，-1） ，且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知
14、识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题例 9 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？例 10 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付电话费 04 元；“神州行”使用者不交月租费，每通话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若 1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元（1）写出 y1，y 2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式
15、的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择哪种通讯方式较合算？例 11 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；7（3）观察图象，当 x 取何值时，y0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值；（5）设点 P 在 y 轴负半轴上， （2）中的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A，B两点，且 SABP =4，求 P 点的坐标例 12 已知一次函数 y=（3-k）x-2k 2+18.（1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的
16、图象平行于直线 y=-x？（4）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？例 13 判断三点 A（3，1） ，B（0，-2） ，C（4，2）是否在同一条直线上学生做一做 判断三点 A（3，5） ，B（0，-1） ，C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题8主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用例 14 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到 30？这说明了什么？（2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？甲生说：“y=6x 的函数值先
17、达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快 ”乙生说：“直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的 ”你认为这两个同学的说法正确吗？例 15 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠 ”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠 ”已知全票价为 240 元（1）设学生人数为 x，甲旅行社的收费为 y 甲 元，乙旅行社的收费为 y 乙 元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在 3000 千克以上（含 3000 千克）的有两种
18、销售方案甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 X 的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由9例 16 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个函数的解析式为 .基础训练习题：1某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元） ，另一部分与参加比赛的人数 x（人
19、）成正比例，当 x=20 时 y=160O；当 x=3O 时，y=200O（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？2已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y 的值为-3（1）求这个函数的解析式。（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象3如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据指距d/cm 20 21 22 23身高h/cm 160 169 178 18710
20、（1）求出 h 与 d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量 d 的取值范围）（2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少？4汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都，如果汽车的平均速度是 100 千米时，那么汽车距成都的路程 s（千米）与行驶时间 t（时）的函数 关系用图象（如图所示）表示应为（ ）5已知函数：（1）图象不经 过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足（1） 和（2）的函数关系式： 6人在运动时的心跳速率通 常和人的年龄有关如果用 a 表示一个人的年龄，用 b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么 b=08（220-a）
21、（1）正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？（2）一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次，他有危险吗？7某市的 A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别为 90 吨和 60 吨，该市的 C县和 D 县分别储存化肥 100 吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县已知 C，D 两县运化肥到 A，B 两县的运费（元吨）如下表所示（1）设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨，求总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案82006 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图 1129 是某水库的蓄水量 V（万米 2）与 干旱持续时间 t（天）之问的关系图，请根据此 图回答下列问题（1）该水库原蓄水量为多少万米 2？持 续干旱 10 天后水库蓄水量为多少万米 3？
