全国高中数学联合竞赛试题与解答A卷.doc

1、2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 1 页，共 14 页2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1设实数 满足 ，则 的取值范围是 a|193a2设复数 满足 ， ，其中 是虚数单位

2、， 分别表示 的共轭复wz,|iwz47)(iwz,z,数，则 的模为 )2(3正实数 均不等于 1，若 ， ，则 的值为 vu, 5loglvvu 3loglvuwv uwlog4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 5设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满足 =90，M 为 AP 的中点若ACAB=1， AC=2， ，则二面角 MBCA 的大小为 6设函数 ，其中 是一个正整数若对任意实

3、数 ，均有10cossin)(44kxxf a，则 的最小值为 |)(|)(Rfaf 7双曲线 C 的方程为 ，左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线 C 的右半支交32yx1F22于点 P，Q，使得 =90，则 的内切圆半径是 F1PQF18设 是 1，2 ，100 中的 4 个互不相同的数，满足4321,a2432143 )()( aaa 则这样的有序数组 的个数为 ,21二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9 （本题满分 16 分）在 中，已知 求 的最大值ABCCBABAC32sin2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 2 页，共

4、14 页10 （本题满分 20 分）已知 是 R 上的奇函数， ，且对任意 ，均)(xf 1)(f 0x有 )(1(xff求 的值)981(3)9120) ff )51(0f11 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，F 是 轴正半轴上的一个动点以 F 为焦xOyx点，O 为顶点作抛物线 C设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且PQ=2.圆 均与直线 OP 相切于点 P，且均与轴相切求点 F 的坐标，使圆 与 的面积之和21, 12取到最小值2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 3 页，共 14 页2016 年全国高中数学联

5、合竞赛加试一、 （本题满分 40 分）设实数 满足 。,21a016 ,21(9iai )05求 的最大值。)(2321aa)(205二、 （本题满分 40 分）如图所示，在 中，X，Y 是直线 BC 上两点（X ，B，C，Y 顺次排列） ，使得ABC。ABCYBX设 ， 的外心分别为 ， ，直线 与 AB，AC 分别交于点 U，V。1O221证明： 是等腰三角形。UV2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 4 页，共 14 页三、 （本题满分 50 分）给定空间中 10 个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最

6、大值。四、 （本题满分 50 分）设 与 均是素数， 。数列 的定义为 ，p23pna21， ，。这里 表示不小于实数 的最小整数。naan11,3xx2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 5 页，共 14 页2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：3. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次4. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档

7、次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1设实数 满足 ，则 的取值范围是 a|193a答案： )0,2(解：由 可得 ，原不等式可变形为|a1|193即 ，所以 又 ，故 2a)34,90(2a0a)310,2(2设复数 满足 ， ，其中 是虚数单位， 分别表示 的共轭复wz,|iwz7iwz,z,数，则 的模为 )2(答案： 65解：由运算性质， ，因为 与 为实数，)(|)(472zwzwzi 2|z|w，故 ， ，又 ，所以 ，从而0)Re(zw7|2i43|izz 819)(|22 因此， 的模为 )(z653正实数 均不等于 1，若 ，

8、，则 的值为 wvu, 5loglwvvu 3loglvuwv uwlog答案： 54解：令 ， ，则avulogbvl2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 6 页，共 14 页， ，auv1logbvw1log abwvvuuu logllogl条件化为 ， ，由此可得 ，因此53a45ab4lllvw4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案： 359解：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的

9、总面值 小于从 B 中取走的两张纸币的总面值a，从而 故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币，相应的取法数为 又此时b10a 32C，即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有 种取法因此，所求的2 18237概率为 359210483275C5设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满足 =90，M 为 AP 的中点若ABCAB=1， AC=2， ，则二面角 MBCA 的大小为 答案： 32arctn解：由 =90知，AC 为底面圆的直径设底面中心为 O，则平面 ABC，易知 ，进而PO12CAO12设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点在底面

10、中作于点 K，则由三垂线定理知 ，从而 为二面角 MBCA 的平面角BCBMKKH因 ，结合 与 平行知， ，即 ，这样2AA43AC故二面角 MBCA 的大小为 3tan2arctn6设函数 ，其中 是一个正整数若对任意实数 ，均有10cossin)(44kxxf a，则 的最小值为 |)(|)(Rfaf 答案：16解：由条件知， 10cosin2)10cos(sin) 222 kxkxxf 4351其中当且仅当 时， 取到最大值根据条件知，任意一个长为 1 的开区间)(5Zmkx)(xf2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 7 页，共 14 页至少包含一个最大值点，从而 ，即 )1,(a

11、15k5反之，当 时，任意一个开区间均包含 的一个完整周期，此时5k )(xf成立综上可知，正整数的最小值为 |)(|)(Rxfxf 1657双曲线 C 的方程为 ，左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线 C 的右半支交132y1F22于点 P，Q，使得 =90，则 的内切圆半径是 F1PQF1答案： 7解：由双曲线的性质知， 43121F2121FPF因 =90，故 ，因此PQ274)()( 2212121 从而直角 的内切圆半径是 1)()()( 212111 QFPFFr8设 是 1，2 ，100 中的 4 个互不相同的数，满足432,a24321431 )()( aaa则这样的有

12、序数组 的个数为 ,21答案：40解：由柯西不等式知， ，等号成立的充分必要条243212432321 )()( aaaa件是 ，即 成等比数列于是问题等价于计算满足 4321a4321, 1,23,4321a的等比数列 的个数设等比数列的公比 ，且 为有理数记 ，其中,04321,a1qmnq为互素的正整数，且 nmnm先考虑 的情况此时 ，注意到 互素，故 为正整数 相应地， 分别等于3114)(a3,31mal4321,a，它们均为正整数这表明，对任意给定的 ，满足条件并以 为公比的lnl23, nqq等比数列 的个数，即为满足不等式 的正整数 的个数，即 4321a103lnl0320

13、16 年全国高中数学联合竞赛一试第 8 页，共 14 页由于 ，故仅需考虑 这些情况，相应的等比数列的个数为105334,2q20116041278 当 时，由对称性可知，亦有 20 个满足条件的等比数列 mn 43,a综上可知，共有 40 个满足条件的有序数组 ),(4321a二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9 （本题满分 16 分）在 中，已知 求 的最大值ABCCBABAC3sin解：由数量积的定义及余弦定理知， 2cosacb同理得， ， 故已知条件化为2bcaBA2aBA)(3)( 2222 ccb即 8 分3a由余弦定理及基本不等式

14、，得 ababcC2)(312cos 26363所以 12 分7cos1sin2C等号成立当且仅当 因此 的最大值是 16 分5:63:baCsin3710 （本题满分 20 分）已知 是 R 上的奇函数， ，且对任意 ，均)(xf 1)(f 0x有 )(1(xff求 的值)981(3)9120) ff )51(0f解：设 =1，2，3，） ，则 nfan)(1fa2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 9 页，共 14 页在 中取 ，注意到 ，及 为奇函数可知)(1(xff*)(1Nk11kx)(xf5 分)()()(fkfkf即 ，从而 10 分ak1)!1(11nkaannkn因此 49

15、0501501 )!()!()!iii i20 分!921!9!9!8409490 i iiii CC11 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，F 是 轴正半轴上的一个动点以 F 为焦xOyx点，O 为顶点作抛物线 C设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且PQ=2.圆 均与直线 OP 相切于点 P，且均与21, 轴相切求点 F 的坐标，使圆 与 的面积之和取到最小值解：设抛物线 C 的方程是 ，点 Q 的坐)0(2pxy 标为，并设 的圆心分别为)0(,a1, ),(),(21yxO设直线 PQ 的方程为 ，将其与 C 的)

16、(mayx 方程联立，消去 可知 x022py因为 PQ 与 C 相切于点 P，所以上述方程的判别式为 ，解得 进而0242pampam2可知，点 P 的坐标为 于是)2,(),(payx)2(1|0|1|2 apmQP 由PQ=2 可得 42pa5 分注意到 OP 与圆 相切于点 P，所以 设21,C21O圆与 轴分别相切于点 M，N，则 分别是21,Cx, PONM,2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 10 页，共 14 页的平分线，故 =90从而由射影定理知21OpayxPNMy P222221 结合，就有 10 分2134apay由 共线，可得1,OP211212 yNOMPypay 化简得15 分2121y令 ，则圆 的面积之和为 根据题意，仅需考虑 T 取到最小值的情况21T21,CT根据、可知， 212121214)( ypayy2222 )(3()()34( aa作代换 ，由于 ，所以 于是1t042pt t431313)(3 tttT上式等号成立当且仅当 ，此时 ，因此结合得，t 1ta3131122ttap从而 F 的坐标为 20 分)0,()0,2p