1、全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何 1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。2、 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 3、 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。 4、几何不等式。 5、简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 6、几何中的运动：反射、平移
2、、旋转。 7、复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 二、代数 1、 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 2、 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求次迭代，简单的函数方程。 3、个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 5、 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 6、一元 n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 7、 简单的初等数论问题，除初中大纲中所
3、包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 三、立体几何 1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。 3、体积证法。 4、截面，会作截面、表面展开图。 四、平面解析几何 1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 2、二元一次不等式表示的区域。 3、三角形的面积公式。 4、圆锥曲线的切线和法线。 5、圆的幂和根轴。 五、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、 第二数学归纳法：有一个与自然数 n 有关的命题，如果
4、：（1）当 n1 时，命题成立； （2）假设当 nk 时命题成立，由此可推得当 nk+1 时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数 n 来说都成立。2、 棣美弗定理：设复数 z=r(cos+isin)，其 n 次方 zn = rn (cos(n)+isin(n)，其中 n 为正整数。3、 无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。从 X 推出一个更小的解 Y。从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解。 4、 同余：两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余，记作 a b (mod m) ，读作 a 同余于 b
5、 模 m，或读作 a 与 b 关于模 m 同余。 比如 26 14 (mod 12) 【定义】设是大于 1 的正整数，a,b 是整数,如果 m|(a-b)，则称 a 与 b 关于模 m 同余，记作 ab(mod m),读作 a 同余于 b 模 m.。有如下事实：(1)若 a0(mod m)，则 m|a； (2)ab(mod m)等价于 a 与 b 分别用 m 去除，余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。 详见高中数学课标人教 B 版必修三6、完全剩余类：从模 n 的每个剩余类中各取一个数，得到一个由 n 个数组成的集合，叫做模 n 的一个完全剩余系。例如，一个数除以 4 的余数只能是 0，
6、1，2，3，0，1，2，3 和 4，5，-2，11是模 4 的完全剩余系。可以看出 0和 4，1 和 5，2 和-2，3 和 11 关于模 4 同余，这 4 组数分别属于 4 个剩余类。7、 高斯函数：f(x)=ae-(x-b)2/c2 其中 a、b 与 c 为实数常数 ，且 a 0. 8、费马小定理：假如 p 是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1) （mod p） 假如 p 是质数，且 a,p 互质，那么 a 的(p-1)次方除以p 的余数恒等。9、欧拉函数： 函数的值：通式：(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(1-1/pn)，其中 p1, p
7、2pn 为 x 的所有质因数，x 是不为 0 的整数。(1)=1（唯一和 1 互质的数就是 1 本身） 。 若 n 是质数 p 的 k 次幂，(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质。 欧拉函数是积性函数若 m,n 互质，(mn)=(m)(n) 。 特殊性质：当 n 为奇数时，(2n)=(n), 证明于上述类似。10、孙子定理：此定理的一般形式是设 m = m1 ， ，mk 为两两互素的正整数，mm1，mk ，mmiMi ，i 1，2， ，k 。则同余式组 xb1(modm1)，xbk(modmk)的解为xM1M1b1MkMkbk （mo
8、dm） 。式中 MiMi1 （ modmi） ，i1，2，k 。11、裴蜀定理：对任何整数 a、b 和它们的最大公约 数 d，关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若 a,b 是整数,且(a,b)=d, 那么对于任意的整数x,y,ax+by 都一定是 d 的倍数,特别地,一定存在整数 x,y,使 ax+by=d 成立。 它的一个重要推论是：a,b 互质的充要条件是存在整数 x,y 使 ax+by=1. 11、梅涅劳斯定理：如果在ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F 且 D、E 、F 三点共线，则 FBAECD=112、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在A
9、BC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、E、F ，且满足 FBAEC=1，则 D、E、F 三点共线。13、塞瓦定理：设 O 是ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、M，则 1PANB14、塞瓦定理的逆定理：设 M、N、P 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 上，且满足 1PACNBM，则 AN、BP 、CM 相交于一点。15、广勾股定理的两个推论：推论 1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论 2：设ABC 三边长分别为 a、b、c，对应边上中线长分别为 ma、 mb、 mc则：m a=22cb； mb=221b；m c=22116、三角形内、外角
10、平分线定理：内角平分线定理：如图：如果1=2，则有 ACBD外角平分线定理：如图，AD 是ABC 中A 的外角平分线交 BC 的延长线与 D，则有 ACBD17、托勒密定理：四边形 ABCD 是圆内接四边形，则有 ABCD+ADBC=ACBD18、三角形位似心定理：如图，若ABC 与DEF 位似，则通过对应点的三直线 AD、BE、CF 共点于 P19、正弦定理、在ABC 中有 RCcBbAa2sinisin（R 为ABC 外接圆半径）余弦定理：a、b、c 为ABC 的边，则有：a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 20、西姆松定理：点 P 是ABC 外接圆周上任意一点，PD BC ，PEAC，PF AB，D 、E、F 为垂足，则 D、E、F 三点共线，此直线称为西姆松线。21、欧拉定理：ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 R，内切圆圆心为 I，半径为 r,记 OI=d,则有：d 2=R2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形 ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何） ，其三组对边 AB 与 DE、BC 与 EF、CD 与 FA 的交点 P、Q、R 共线。
