1、高中数学必修 4 知识点总结平面向量知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一.向量的基本概念与基本运算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量一般用 来表示，或用有向线段的起点与终cba,点的大写字母表示，如： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几何表示法 ， ；坐标表示法 奎 屯王 新 敞新 疆 向ABAB ),(yxjia量的大小即向量的模（长度） ，记作| | 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即向量的大小，记
2、作 奎 屯王 新 敞新 疆 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j零向量 00a0 0 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，故在有关向量平行a（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 （注意与 0 的区别）单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量 为单位向量 1 奎 屯王 新 敞新 疆 00a平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:
3、/.j任意一组平行向量都可以移到同一直线上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方向相同或相反的向量，称为平行向量 奎 屯王 新 敞新 疆 记作 奎 屯王 新 敞新 疆 由于向量可以进行任意的平移ab(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎 屯王 新 敞新 疆 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平
4、移后总可以重合，记为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j大ba小相等，方向相同 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j),(),(21yx2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1 ） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；0向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1 ）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另
5、一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2 ） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连” ABCDPQRA3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkyg
6、com126t:/.jaa记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j关于相反向量有： （i） = ； (ii) +( )=( )+ = ；)(a0(iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabbab向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，a记作： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求两个向量差的运算，叫做向量的减法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygc
7、om126t:/.jbbaab4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：a（） ；（）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向0a0a相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja数乘向量满足交换律、结合律与分配律 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbba6 头htp:/
8、w.xjkygcom126t:/.j平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只21,e 有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有21ea21,e向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 特别注意:（1 ）向量的加法与减法是互逆运算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2 ）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3 ）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）
9、 ，而向量平行则包括共线（重合）的情况 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（4 ）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 头htp:/w.
10、xjkygcom126t:/.j例 1 给出下列命题： 若| | |，则 = ；aba 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充ABDC要条件； 若 = ， = ，则 = ，abca = 的充要条件是| |=| |且 / ；b 若 / ， / ，则 / ，c其中正确的序号是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且 ，ABDC|/ABDC又 A，B，C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则， 且 ，/|因此， 正确 = ， ，
11、 的长度相等且方向相同；ab又 ， ， 的长度相等且方向相同，bc ， 的长度相等且方向相同，故 ac 不正确当 / 且方向相反时，即使| |=| |，也不能得到 = ，故| |=| |abbab且 / 不是 = 的充要条件，而是必要不充分条件ab 不正确考虑 = 这种特殊情况0综上所述，正确命题的序号是点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想例 2 设 A、B 、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ， BOACB解：原式= ()D原式= ()0DBAC原式= ()()0OOB
12、CAB例 3 设非零向量 、 不共线， =k + ， = +k (kR)，若 ，试求 k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabcabdcd解： cd由向量共线的充要条件得： = (R)c即 k + =( +k ) (k) + (1k ) = abab0又 、 不共线 由平面向量的基本定理 101kk二.平面向量的坐标表示1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由,i axi
13、yj于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y) 叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中 x 叫作a在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1) 若 ，则12,aybxy 12,abxy(2) 若 ，则BxA2A(3) 若
14、 =(x,y)，则 =( x, y)a(4) 若 ，则12,aybxy121/0abxy(5) 若 ，则x若 ，则02121y3 奎 屯王 新 敞新 疆 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类几何方法 坐标方法 运算性质型向量的加法1 奎 屯王 新 敞新 疆 平行四边形法则2 奎 屯王 新 敞新 疆 三角形法则 12(,)abxyab)(cABC向量的减法三角形法则 12(,)abxy)(baOBA向量的乘法是一个向量,a满足:0 时 , 与 同向;0 时 , 与 异向;=0 时 , = 奎 屯王 新 敞新 疆a0),(yxaa)(b)(a
15、b向量的数量积是一个数b或 时,=0a且 时,0bacos| 12bxy)()(baccba,2|2|yx|例 1 已知向量 ， ，且 ，求实数 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1,2)(,)2xubva/uv解：因为 ，(,)ab所以 ，2,4ux (1,),(,3)vx又因为 /v所以 ，即3(1)4()05x解得 2x例 2 已知点 ,试用向量方法求直线 和 （ 为坐标原点）交)62(,),(CBAACOB点 的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jP解：设 ，则,4,)OPxyxy因为 是 与 的交点所以 在直线 上，也在直线 上即得 /,/OP
16、BAC由点 得，)6,2(4)0( (2,6)(4,)OB得方程组 0xy解之得 3y故直线 与 的交点 的坐标为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jACOBP(3,)三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosabab叫做 与 的数量积（或内积） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjk
17、ygcom126t:/.j投影的绝对值称为射b|aba影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|a5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： ；22abb2a2ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：交换律成立： b对实数的结合律成立： a
18、baR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （abOAaBb）叫做向量 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j00cos = = 头htp
19、:/w.xjkygcom126t:/.jcos,ab212当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =180 0，同时ab与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j09 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质21yx例 1 判断下列各命题正确与否：（1） ；（2） ；0a
20、0a（3）若 ，则 ；,bc若 ，则 当且仅当 时成立；0（5） 对任意 向量都成立；()()ac,abc（6）对任意向量 ，有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：错； 对； 错； 错； 错；对 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的ab0,3abdacd夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：由题意， ，且 与 的夹角为 ，1012所以， ，0cos2ab，2c()()ab2247ab，7同理可得 13d而 ，c 217(2)()73abab设 为 与 的夹角，cd则 1829732os18297arcos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 3 已知 ， ， ，按下列条件求实数 的4,a,b,bna值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（1） ；（2） ；n/mn(3)解： 4,ab27,8ab（ 1） ；07952（2） ；/mn381(3) 0845872422头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
