1、选修 2-3 定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种1m不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有2m种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆nm2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法分类要做到“不重不漏” ，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一
2、件事，有 n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.（1）排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素的所有排列的个数.用符号 表示mnA（2）排列数公式: 用于计算，)1()2(1nA或 用于证明。mn)!(N,= = =n(n-1)! 规定 0！=112315.组合：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并
3、成一组，叫做从 个nmnn不同元素中取出 个元素的一个组合m（1）组合数: 从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，用 表示mnC（2）组合数公式: 用于计算，(1)2(1)!mnAnCm或 用于证明。)!(n ),N且（3）组合数的性质： 规定： ； + .mnC10n mnC11mn 1 6.二项式定理及其特例：（1）二项式定理 NnbCaCbaCbannn r10展开式共有 n+1 项，其中各项的系数 叫做二项式系数。n,210r（2）特例： 1(1)nrnnxx .7.二项展开式的通项公式： （为展开式的第 r+1 项）r1rbaCT8二项式系数的性质：（1）对称性：在 展开式中
4、，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相nba等,即 ，直线 2r是图象的对称轴mnC（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的1n后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当 n是偶数时，在中间一项 的二项式系数 2nC取得最大值；2nT当 是奇数时，在中间两项 ， 的二项式系数12n，取得最大值21n39.各二项式系数和：（1） ，n210nnCC（2） 15314 2nnnC10.各项系数之和：（采用赋值法）例：求 的各项系数之和93yx解： 9278102 yaxaya令 ，则有 ，1,y13232 992109 故各项系数和为-1第二章 概率知识点：1、随机变量
5、：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 、 等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量 X 所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,. ,xi ,.,xnX 取每一个值 xi 的概率 p1，p 2,. , p i ,., p n，则称表为离散型随机变量 X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质 p i0, i =1，2， n； p 1 +
6、 p2 +pn= 15、二点分布：如果随机变量 X 的分布列为：其中 0p1，q=1-p，则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取n(n N)件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量，则它取值为 m 时的概率为， 为 和 中 的 较 小 的 一 个()(0,n)mMNCPXl7、条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 的概率8、公式：.0)(,)|(PABBP9、相互独立
7、事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 (|)()B10、n 次独立重复试验：在相同条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般就称它为 n 次独立重复试验11、二项分布： 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数设为 X如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，事件 A 不发生的概率为 q=1-p，那么在 n 次独立重复试验中 ，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 （其中 k=0,1, ,n）()knPXCpq于是可得随机变量 X 的分布列如下：这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 二项分布，记作
8、 XB(n，p) 。12、数学期望：一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为则称 为离散型随机变量 X 的数学期望或均值（简称为期望）12()nEXxpxp 13、方差: 叫随机变量222112()()()()nnDEXEpxEpX 的方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：15、正态分布：若正态变量概率密度曲线的函数表达式为),(,21)( 2)( xexf x的图像，其中解析式中的实数 是参数，且 ， 分别表示总体的期望与标准、 0、差期望为 与标准差为 的正态分布通常记作 ，正态变量概率密度曲线的函数的图2(,)N期望 方差两点分布 ()EXp()DXpq二项分布，X B（n,
9、p） nn超几何分布 N，M，n ()MN象称为正态曲线。 16、正态曲线基本性质：（1）曲线在 x 轴的上方，并且关于直线 x= 对称（2）曲线在 x= 时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状 （3）曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦” ，表示总体的分布越集中17、3 原则：容易推出,正变量在区间 以外取值的概率只有 4.6%,在(2,)以外取值的概率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小()概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. (,)68.3%P2954(3,).7
