1、 第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把 的方程代入，再利用 为 的表面积；SSd例如 其中 为柱面 被平面 所截取的部分；,2Syxd22RyxHz,0解 .2221SSHR2)利用公式（1）设有光滑曲面，:(,)zxyD为 上的连续函数，则(,)fxyzS2(,)(,)1xySDfxyzdfxyzzd注 一投-将曲面 向 面投影得 ；O二代-将 代入到 中；(,)zxy(,)fxyz三变换- 变成 .dS21xyzd（2）类似地，如果光滑曲面 由方程 ，则(,)zD，2(,)d,1dyzSDfxyzfxyx其中 表示曲面 在 面上的投影DO
2、（3）如果光滑曲面 由方程 ，则(,)yxz2(,)d,1dxzSDfxzfy其中 表示曲面 在 面上的投影DO3)利用对称性（1）若曲面 关于 坐标面对称， 为 上的连续函数， 为 位于xoyzyxf,1上部的曲面，则xoy10,d2d,fxyzfxyzSfxyzS为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .（2）若曲面 关于 坐标面对称， 为 上的连续函数， 为 中of, 1的那部分曲面，则0x10,d2,d,fxyzfxyzSfxyzS为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .（3）若曲面 关于 坐标面对称， 为 上的连续函数， 为 中of, 1的那部分曲面，则0y10,d2,d,fx
3、yzfxyzSfxyzS为 的 奇 函 数 ,为 的 偶 函 数 .（4）若积分曲面 关于 具有轮换对称性,则有(,)()(,)fxyzsfyzsfzs1,(,)3fxfyxfyd2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设 是定义在光滑曲面R:(,)Szxy,xyD上的连续函数， 以 的上侧为正侧，则有(,)(,).xySDxyzdRzd注一投-曲面 向 面投影得 ；:(,)O二代-将 代入到 中；,zxy,xyz三定向看 的法线方向与 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负S（2）类似地，当 在光滑曲面PyzDzyxS,:上连续时，有,yzDS ddzyx这里 是以 的法线方向与 轴
4、的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当 在光滑曲面QzxDxzyS,:上连续时，有,zxDS dyQd这里 是以 的法线方向与 轴的正向成锐角的那一侧为正侧Sy2）若 ，则(,)zx,)(,)S SzPydQyzdxRyzdxRPQdxy 3）高斯公式注 高斯公式 的适用条件是：() ,VSPxyzzxyxA1）函数 ， ， 在 上具有一阶连续的偏导数,)yz,Q(,)RV2） 封闭，若 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面 后封闭，则有S S()S SVPdyzxdyQRPdzQxRdydxyzx A3） 取外侧；如果 取内侧，则 取外侧，则有SS()V SPRyzPzQdxRyxASdxy3.
5、各种积分间的联系格林公式 斯托克斯公式 高斯公式 n二 典型例题第一型曲线积分三重积分二重积分第一型曲面积分 第 一 型 曲线 积 分 积分第二型曲线积分第二型曲面积分面积分1.计算第一型曲面积分 ，其中 是上半球面()SxyzdS， 22a(0z解 把 向 面投影得:Szaxyo22:Dxya222() SDxydaxyd 3注 ，因为 关于 轴对称，且220Dxydxya 22:xya,xy奇22xyxy2.计算曲面积分 ，其中 是球面 SzdS22xyza解： 球面 关于 , , 具有对称性，22xya SSSz =2Szd221()3Sxyd=2SSas2214.33计算曲面积分 ，其
6、中 是旋转抛物面 介zdxyz)(2 )(212yxz于平面 及 之间部分的下侧0z解 补平面 的上侧，则 为封闭曲面，在其上应用高斯公式：:1z1 11 )()()( 222 zdxyzzdxyzdxyI8xyDz4计算第二型曲面积分 ，其中曲面 为椭球面Sdzyxzdy S的上半部分，其方向为下侧221xyzabc解：为求 ( 取下侧)，只须求SIxdyzxzdyS( 取上侧)，那么 为求 ，将 与底面2 12I2IS(其中 是 在 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为 ，即 ，其Sxoy toalStoal中 方向取上侧， 方向取下侧设 围成的区域为StoalS，22,|1,0xyzVzb
7、c由高斯公式： 2toalS SxdyzxzdyIxdyzxzdy13Vabc又由于 ，那么 ，从而 0Sxdyzxzdy 2I1 3S abcIzxdy5计算 ，其中 是上半球面 的外侧SxdyzxyS22zxy解：曲面 不封闭，补上曲面 ，取下侧221:0()zxa1 1302.S SVxdyzxdyzxdzyxzdyva6. ，其中 是单位球面 的外侧Sdxyzydzx33 S122zyx解 32()VyzdA2140023sin5drd7.求 ，其中 是立方体22()()()CIyzdxyxzAC0,0,xaa的表面与平面 的交线，取向从 轴正向看去是逆时针方向32yzz解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且 也不便于表示为一个统一的参数式，C因 为闭曲线，且 ， ， 连续可微，故考虑用斯托克斯C2Pz2Qx2Ry公式，令 为 被 所围的一块，取上侧，则 的取向与 的取侧相容，应3xyaC用斯托克斯公式得 222111333I dSxyzyzxy23143394()243axyzdSdSa8.计算 ，其中 ，从 轴正()()()IzxyzA21:xyz向看为顺时针方向（图 10-23） 解 用斯托克斯公式取 以 为边界所围有限部分的下侧，它在:2z面上的投影区域为 ，则xOy2(,)1xyDyddzxIzzyy2d2xyD
