1、18.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点 F1， F2 的距离的和等于定长（定长通常等于 2a，且2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆。 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaP（1） 椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay.ii. 中心在原点，焦点在 y轴上： ba. 注：A.以上方程中 的大小 ，其中 ；,ab022cB.在 和 两个方程中都有 的条件，要分清焦点的位置，只要看21xya21x0ab和 的分母的大小。2一般方程： )0,(12BAyx.椭圆的标准方程： 2ba的参数方程为 si
2、ncobyax（一象限 应是属于 20）.椭圆的性质顶点： ),0(或 )0,(,.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ),(c或 ),(c.焦距： 221,baF.准线： cx或 cy.离心率： )10(ea.【 ， ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就01e1cab越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接c0b近于圆。当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 。】bc 22xy焦（点）半径：i. 设 ),(0yxP为椭圆 )0(12bayx上的一点， 2,F为左、右焦点，则 0201,exaPFexaPF
3、2ii.设 ),(0yxP为椭圆 )0(12baybx上的一点， 21,F为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知： )0()(),(00201 xaecpxecepF 归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得 sin,o(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标： ),(22abcd和 ),(2焦点三角形的面积：若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则21FP的面积为 2tanb（用余弦定理与 aPF可得）。若是双曲线，则面积为 2cotb。（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12byax的离心率是 )(2ace，方
4、程tbyax(2是大于 0 的参数， )0b的离心率也是 ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2.椭圆的第二定义：平面内到定点 F 的距离和它到一条定直线 L（F 不在 L 上）的距离的比为常数e（ ）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线 L 为椭圆焦点 F 相应的准线。01二、双曲线方程1. 双曲线的第一定义: 平面内到到两个定点 F1， F2 的差的绝对值等于定长（定长通常等于 2a，且2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点 F 为双曲线的焦点，定直线 L 为双曲线焦点 F 相应的准线。 yxMF1 y1F24三、抛物线方程（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和
5、一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程 叫做抛物线的标准方程。02pxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ ,0），它的准线方程是2p；2px（2）抛物线的性质设 0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： pxy2pxy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线方程 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e焦半径 12xpPF2xpPF12ypPF12yp
6、PF通径 2p 2p 2p 2p5焦点弦 x1+x2+p x1+x2+p y1+y2+p y1+y2+p注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2（或 py2）的参数方程为 ptyx2（或 2ptyx）（ t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l的距离之比为常数 e的点的轨迹.当 10e时，轨迹为椭圆；当 1e时，轨迹为抛物线；当 1e时，轨迹为双曲线；当 0e时，轨迹为圆（ ac，当 ba,0时）.【弦长公式 】4)(212122 xxkxkAB2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆 双曲
7、线 抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹.（01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF 1+MF 2=2a,F 1F22a.点集：MMF 1-MF 2.=2a,F 2F22a.点集M MF=点 M到直线 l的距离.图形6方程标准方程 12byax(a0) 12byax(a0,b0) pxy2参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax为 离 心 角 ）参 数 (tansecbyxptyx2(t为参数)范围 a xa，by b |x| a，yR x0中心 原点 O（0，0）
8、 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0)对称轴 x轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. x轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF准 线x= ca准线垂直于长轴，且在椭圆外.x= ca准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c= 2ba） 2c （c= 2ba）离心率 )10(ec )1(ece=1【备注 1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线 22ayx称为等轴双
9、曲线，其渐近线方程为 xy，离心率 2e.（2）共渐近线的双曲线系方程： )0(2b的渐近线方程为 02ba如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )(2yax.【备注 2】抛物线：7（1）设抛物线的标准方程为 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准线的2y 2p距离 ，焦点到准线的距离为 p.2p（2）已知过抛物线 =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB称为焦点弦，设2yA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 = +p或 ( 为直线 AB的倾斜角)，AB21x2sinp， ( 叫做焦半径).21py,4121pFx弦长公式：
