1、切线长定理知识讲解（提高）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2切线的性质定理：圆的切线垂直
2、于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理1切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3圆外切四边形的性质：圆外切四边形的
3、两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形 性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(
4、三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC 分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. 如图，等腰三角形 ABC中， 6， 8AB以 C为直径作O 交 AB于点 D，交AC于点 G， DF，垂足为 F，交 的延长线于点 E求证：直线 EF是O 的切线. D FGCOBEA【答案与解析】如图，连结 OD、 D，则 90B CAB ， 是 的中点 O是 的中点， EFAC于 F D 是O 的切线 【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，B=90，A
5、D=AB+DC，AD 是O 的直径求证：BC 和O 相切【答案】作 OEBC，垂足为 E， ABDC，B=90， OEABDC， OA=OD， EB=EC， BC 是O 的切线2. 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：DC 是O 的切线【答案与解析】 连接 OD OA=OD，1=2 ADOC， 1=3，2=4因此 3=4又 OB=OD，OC=OC， OBCODCOBC=ODCBC 是O 的切线，OBC=90，ODC=90， DC 是O 的切线【总结升华】因为 AB 是直径，BC 切O 于 B，所以 BCAB要证明 DC 是O 的切线，而
6、DC 和O 有公共点 D，所以可连接 OD，只要证明 DCOD也就是只要证明ODC=OBC.而这两个角分别是ODC 和OBC 的内角，所以只要证ODCOBC这是不难证明的举一反三：【高清 ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：MAN=30，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心、2 为半径作O，交 AN 于 D、E 两点，设 AD=x，如图当 取何值时，O 与 AM 相切；如图当 为何值时，O 与 AM 相交于 B、C 两点，且BOC=90【答案】（1）设 AM 与O 相切于点 B，并连接 OB，则 OBAB；在AOB 中，A=30，则 AO=2OB
7、=4，所以 AD=AO-OD，即 AD=2x=AD=2.（2）过 O 点作 OGAM 于 GOB=OC=2，BOC=90，BC= 2，OGBC，BG=CG= 2，OG= ，A=30MA NED O图（1）MA NEDBCO图（2）OA= 2， x=AD= 2类型二、三角形的内切圆3.（2015西青区二模）已知四边形 ABCD 中，ABCD，O 为内切圆，E 为切点（）如图 1，求AOD 的度数；（）如图 1，若 AO=8cm，DO=6cm，求 AD、OE 的长；（）如图 2，若 F 是 AD 的中点，在（）中条件下，求 FO 的长【答案与解析】解：（）O 为四边形 ABCD 的内切圆，AD、A
8、B、CD 为O 的切线，OD 平分ADC，OA 平分BAD，即ODA= ADC，OAD= BAC，ABCD，ADC+BAC=180，ODA+OAD=90，AOD=90；（）在 RtAOD 中，AO=8cm，DO=6cm，AD= =10（cm） ，AD 切O 于 E，OEAD， OEAD= ODOA，OE= = （cm） ；（）F 是 AD 的中点，FO= AD= 10=5（cm） 【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理类型三、与相切有关的计算与证明【高清 ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 4】4.（2015常德）已知如图，以 RtABC
9、的 AC 边为直径作O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，EAC=60，求 AD 的长【答案与解析】证明：（1）如图 1，连接 FO，F 为 BC 的中点，AO=CO，OFAB，AC 是O 的直径，CEAE，OFAB，OFCE，OF 所在直线垂直平分 CE，FC=FE，OE=OC，FEC=FCE，0EC=0CE，ACB=90，即：0CE+FCE=90，0EC+FEC=90，即：FEO=90，FE 为O 的切线；（2）如图 2，O 的半径为 3，AO=CO=EO=3，EAC=60，OA=OE，EOA=60，COD=EOA=60，在 RtOCD 中，COD=60，OC=3，CD= ，在 RtACD 中，ACD=90，CD= ，AC=6，AD= 【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键
