1、地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 11 页有理数全章复习与巩固（基础）撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳 【学习目标】1理解正负数的意义，掌握有理数的概念.2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用.5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相
2、反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用 举例表示数的性质 0 是自然数、是有理数地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 11 页表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态 表示冰点0C表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数2数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大3相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0 要点
3、诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可（3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负4绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 数 a 的绝对值记作 a（2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离要点二、有理数的运算 1 法则：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并
4、用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0 相加，仍得这个数（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即 a-b=a+(-b) （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同 0 相乘，都得 0（4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数即 ab=a (b0) 1b（5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1
5、）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如：（3）=3，+（3）=3（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（3）（2）（6）=36，而（3）（2）6=36(0)|地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 11 页（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， 2(3)93()272运算律： （1）交换律: 加法交换律:a+b=b+a； 乘法交换律:ab=ba；（2）结合律: 加法结合律：
6、 (a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法；（5)倒数比较法要点四、科学记数法、近似数及精确度 1.科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 的形式（其中 ， 是正整数） ，此10na10an种记法叫做科学记数法例如：200 000= 522.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为 6300，这里
7、的 6300就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到 米，说明结果与实际数相差0.1不超过 米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.05【典型例题】类型一、有理数相关概念1若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，
8、等于它本身则这个数分别为(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；（5）_【答案】 （1）0； (2)1 和-1；(3)正数和 0；(4)1 和 0；(5)-1、0 和 1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全.【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念.举一反三：【高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】【变式】(1) 的倒数是 ； 的相反数是 ； 的绝对值是 .321321321-（-8）的相反数是 ； 的相反数的倒数是_.(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8 元的意义是 _ ；如果这种油的原价是 76 元，那么现在的卖价是
9、 . 地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 11 页(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长 30km，单程运行时间约为 8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 mmin.(4) 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 _ .)(32bacd(5) 近似数 0.4062 精确到 位，近似数 5.47105 精确到 位，近似数 3.5 万精确到 位， 3.4030105 精确到千位是 .【答案】 （1） ； ； ；-8；2 （2）降价 5.8 元，70.2 元；（3） ；（4）313 3.75103
10、；（5）万分；千；千；3.4010 52如果(x-2) 2+|y-3|0，那么(2x-y) 2005 的值为( )A1 B-1 C 22006 D3 2005【思路点拨】利用非负数的性质，求出 的值再代入计算,x【答案】A【解析】 因为(x-2) 2，|y-3|都是非负数，且(x-2) 2+|y-3|0， 所以由非负数的性质先求出x=2，y =3 的值，代入得： (2x-y) 2005=12005=1【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性3在下列两数之间填上适当的不等号：_ 20562067【思路点拨】根据“a-b0，a-b0，a-b0 分别得到 ab，ab，ab”来比较两数的大小【答案】【解
11、析】法一：作差法由于 ，所以2562507260100726725067法二：倒数比较法：因为15所以 25607【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用举一反三：【变式】比较大小：(1) _0.001； (2) _-0.68193【答案】 （1） （2）类型二、有理数的运算4 （1） （12） 5+（14）（39）地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 11 页（2）3 2（ 3） 2+3（2）+|4|（3） 156061（4） 5.722（5） 3113144(0.2)【答案与解析】解：
12、（1） （12 ） 5+（14） （39）=12514+39=31+39=8（2）3 2（ 3） 2+3（2）+|4|=996+4=16+4=3（3） 526061= 60 60 60=10258=23（4） 510.7252= （ ） （ ）32= 232地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 11 页= 30=24（5）2 311312444(0.2)35765142421037560124039【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右
13、依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算举一反三：【变式】计算：（1） 1(2)(2)（2） 06463【答案】解：（1） 1()()(2)(2)42（2） 0641=-16+4-31=-15类型三、数学思想在本章中的应用5 （1）数形结合思想：有理数 a 在数轴上对应的点如图所示，则 a，-a，1 的大小关系A-aa1 B1-a a C1-aa Da1-a（2）分类讨论思想：已知|x|5，|y|3求 x-y 的值（3）转化思想：计算： 35()7地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页
14、共 11 页【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到 a1-a，所以大小关系为：a1-a 所以正确选项为：D（2）因为| x|5，所以 x 为-5 或 5因为|y|3，所以 y 为 3 或-3当 x5，y3 时，x-y5-32当 x5，y-3 时，x-y5-(-3)8当 x-5，y3 时，x-y-5-3-8当 x-5，y-3 时，x-y-5-(-3)-2故（x-y）的值为2 或8（3）原式= 1(7)724614【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且
15、分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识” ，将“未知”转化为“已知” 举一反三：【变式】若 a 是有理数，|a |-a 能不能是负数?为什么?【答案】解：当 a0 时，|a|-a a-a0；当 a0 时，|a |-a 0-00；当 a0 时，|a |-a -a-a-2a0所以，对于任何有理数 a，|a|-a 都不会是负数类型四、规律探索6将 1， ， ， ， ， ，按一定规律排列如下：231456请你写出第 20 行从左至右第 10 个数是_【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律【答案】 120地址：北京市西城区新德街 20 号 4
16、层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8 页 共 11 页【解析】 认真观察可知，第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，第 3 行有 3 个数，所以第20 行有 20 个数，从第 1 行到第 20 行共有 1+2+3+20210 个数，所以第 20 行最后一个数的绝对值应是 ；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第 20 行最后一个数是20，以此类推向前 10 个，则得到第 20 行第 10 个数是 1 120【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来【巩固练习】一、选择题1下列判断
17、正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等(2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2下列各数中最大的是( )A2 3 B-3 2 C(-3) 2 D(-2) 33 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|- 中，负数的个数是 ( )51-|，A1 个 B2 个 C3 个 D4 个据有关资料显示，2011 年遵义市全年财政总收入 202 亿元，将 202 亿用科学记数法可表示（ ）A2.02 人 B202 人 C2.02 人 D2.02 人20810910105若-10
18、B ab0 C 0 Da-b0 ba8已知有理数 ， 在数轴上对应的两点分别是 A，B请你将具体数值代入 ， ，充分实验ab ab验证：对于任意有理数 ， ，计算 A， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A B C Db|a|ab地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 11 页二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量 2 克，记作+2 克，那么-3 克表示_.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，
19、-3，-2，那么这里 0 的含义是_.11德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第 61 颗暗星距离地球 102 000 000 000 000 千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为_ _千米，精确到千亿位为 千米12 ，则 ； ，则 .7x_7x_13已知实数 a , 在数轴上如下图所示，则 = . |1|a14若|a-2|+|b+3|=0，则 3a+2b= 15 2116观察下列算式： ， ， ， ，请你在观234524625732486察规律之后并用你得到的规律填空： .0_三、 解答题17计算： （1）22217(3)63（2） 4 20.5()（3）21-49.5+10.2-2-3.5+
20、19（4）3232319454518已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，且 x 的绝对值为 3，求 2x2-(ab-c-d)+|ab+3|的值19某地的气象观测资料表明，高度每增加 1km，气温大约下降 6，若该地地面温度为 18，高空某处气温为-48，求此处的高度20先观察下列各式：； ； ； ，14314731170311(3)3nn根据以上观察，计算： 的值2508【答案与解析】一、选择题1 【答案】 A地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 10 页 共 11 页2 【答案】C 【解析】只有 A、C 两项的
21、结果为正，只要比较 23、(-3) 2 的大小即可由 238，(-3) 29，可知： (-3)2 最大3 【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|， )51(-4 【答案】D5 【答案】C【解析】由-1a0 可知 为正数，而其它两数均为负数，且| a | ，所以 a ，所以2a 1a a216 【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17 【答案】D【解析】由图可知，a、b 异号，且 b 的绝对值较大8.【答案】D【解析】按正负对 ， 分类讨论a二、填空题9 【答案】低于标准质量 3 克10 【答案】水位无变化11 【答案】1.0210 14，1.02010 1412 【答案】 7,13 【答案】1-a【解析】由图可知： a-10，所以 a-1=-（a-1）=1- a.14 【答案】0【解析】|a-2|+|b+3|=0，a-2=0，b+3=0，即 a=2，b=-33a+2b=6-6=0；15 【答案】-5【解析】 .214516 【答案】 2850【解析】观察可得规律为： .2()4()nn三、解答题17 【解析】解： (1) 原式 1492(6)918485(2) 原式 1152() 23236
