1、1一次函数专题【基础知识回顾】一、 一次函数的定义:一般的：如果 y= （ ），那么 y 叫 x 的一次函数特别的：当 b= 时，一次函数就变为 y=kx(k0)，这时 y 叫 x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当 b=0 时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数 y=kx+b 的同象是经过点（0，b） （- ，0）的一条 ，bk正比例函数 y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数 y= kx(k0)，当 k0 时，其同
2、象过 、 象限，此时时 y 随 x的增大而 ；当 k0 b 0 过 象限、k0 b0 过 象限、k0 过 象限4、若直线 l1：y= k1x+ b1 与 l1：y= k2x+ b2 平行，则 k1 k2，若 k1k2，则 l1与 l2 【名师提醒：y 随 x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数 y= kx+ b 中的字母 与 的值步骤：1、设一次函数表达式2、将 x，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次
3、不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将 x= 或 y 代入 y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b0 或 kx+ b0 即一次函数图象位于 x 轴上方或下方时相应的 x 的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 22、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五
4、、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式 3、确定自变量的取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例 1 一次函数 y=2x +1 的图象不经过下列哪个象限（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限例 2 写出一个图象经过一，三象限的正比例函数 y=kx（k 0）的解析式（关系式） 例 3 已知 P1（1，y 1） ，P 2（2，y 2）是正比例函数 y=x 的图象上的两点，则 y1 y 2（
5、填“”或“”或“=” ） 考点三：一次函数解析式的确定例 4 一次函数 y=kx+b，当 1x4时，3y6，则 k 的值是 _考点四：一次函数与方程（组） 、不等式（组）的关系例 5 函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m ，3），则不等式 2xax+4 的解集为（ ）Ax Bx3 Cx Dx3考点五：一次函数综合题例 6 已知两直线 L1：y=k 1x+b1，L 2：y=k 2x+b2，若 L1L 2，则有 k1k2=1（1）应用：已知 y=2x+1 与 y=kx1 垂直，求 k；（2）直线经过 A（2，3） ，且与 y= x+3 垂直，求解析式考点六：一次函数的应用例 7
6、 某学校开展“青少年科技创新比赛”活动， “喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型甲、乙两车同时分别从 A，B 出发，沿轨道到达 C 处，在 AC3上，甲的速度是乙的速度的 1.5 倍，设 t（分）后甲、乙两遥控车与 B 处的距离分别为d1，d 2，则 d1，d 2 与 t 的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：（1）填空：乙的速度 v2= 米/ 分；（2）写出 d1 与 t 的函数关系式；（3）若甲、乙两遥控车的距离超过 10 米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？【聚焦中考】1.直线 y=-x+1 经过的象限是（ ）A第一、二
7、、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限2. 若一次函数 y=（m-3）x+5 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则（ ）Am0 Bm 0 Cm3 Dm33. 将一次函数 y=x 的图象向上平移 2 个单位，平移后，若 y0，则 x 的取值范围是（ ）Ax4 Bx-4 Cx2 Dx-24. 如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称点 B 在直线 y=-x+1 上，则 m 的值为（ ）5. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标是（0.3） ，点 C 是 x 轴上的一个动点，点 C 在 x 轴上移动时，始终保持ACP 是等边三
8、角形当点 C 移动到点 O 时，得到等边三角形AOB（此时点 P 与点 B 重合） （1）点 C 在移动的过程中，当等边三角形 ACP 的顶点 P 在第三象限时（如图） ，求证：AOCABP；由此你发现什么结论？（2）求点 C 在 x 轴上移动时，点 P 所在函数图象的解析式【备考真题过关】4一、选择题1.一次函数 y=2x+4 的图象与 y 轴交点的坐标是（ ）A（0，4） B（0，4） C（2，0） D（2，0）2.已知直线 y=kx+b，若 k+b=5，kb=6，那么该直线不经过（ ）A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3. 正比例函数 y=kx（k0）的图象在第二、四象
9、限，则一次函数 y=x+k 的图象大致是（ ）A B C D4.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米，先到终点的人原地休息已知甲先出发 2 秒在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：a=8；b=92；c=123其中正确的是（ ）A B仅有 C仅有 D仅有5.一次函数 y=kx-k（k0）的图象大致是（ ）A B C D6.正比例函数 y=kx（k0）的图象在第二、四象限，则一次函数 y=x+k 的图象大致是（ ）5A B C D7正比例函数 y=x 的大致图象是（ ）A B C D8正比例函数 y=2x 的大致
10、图象是（ ）A B C D9已知直线 y=mx+n，其中 m，n 是常数且满足：m+n=6，mn=8，那么该直线经过（ ）A第二、三、四象限 B第一、二、三象限 C第一、三、四象限 D第一、二、四象限10已知一次函数 y=kx-1，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第一、三、四象限 D第二、三、四象限11如图，直线 l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是 y=（m-2）x+n，则 m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A BC D12当 kb0 时，一次函数 y=kx+b 的图象一定经过（ ）A第一、三象限 B第一、四象限 C第二、三象限
11、 D第二、四象限二、填空题13.将一次函数 y=3x1 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位后，得到的图象对应的函数关系式为_614.过点（1，7）的一条直线与 x 轴，y 轴分别相交于点 A，B，且与直线 平行则在线段 AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是_15.一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1400 米，小明、小刚在此后所跑的路程 y（米）与时间 t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米16.直线 y=k1x+b1（k 10）与 y=k2x+b2（k 20）相交于点（ 2，0） ，且两直线与 y 轴围城的三角形面积为 4，那么 b1b 2 等于 三、解
12、答题17.已知直线 y=2x-b 经过点（1，-1） ，求关于 x 的不等式 2x-b0 的解集18. 已知两直线 L1：y=k 1x+b1，L 2：y=k 2x+b2，若 L1L 2，则有 k1k2=-1（1）应用：已知 y=2x+1 与 y=kx-1 垂直，求 k；（2）直线经过 A（2，3） ，且与 y= x+3 垂直，求解析式319. 如图，已知函数 y=- x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，与函数 y=x 的图象12交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0） （其中 a2） ，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=- x+b 和 y=
13、x 的图象于点 C、D（1）求点 A 的坐标；（2）若 OB=CD，求 a 的值720. 如图，一次函数 y=-x+m 的图象和 y 轴交于点 B，与正比例函数 y= x 图象交于点 P（2，n） 32（1）求 m 和 n 的值；（2）求POB 的面积一次函数【重点考点例析】例 1 解：解析式 y=2x+1 中，k=20，b=10，图象过一、二、四象限，图象不经过第三象限故选 C例 2 解：正比例函数 y=kx 的图象经过一，三象限，k0，取 k=2 可得函数关系式 y=2x（答案不唯一） 故答案为：y=2x（答案不唯一）.例 3 解：P 1（1，y 1） ，P 2（2，y 2）是正比例函数
14、y=x 的图象上的两点，y 1=，y 2=2=，y 1y 2故答案为：8例 4 解：当 k0 时，此函数是增函数，当 1x4 时，3y6，当 x=1 时，y=3；当 x=4 时，y=6， ，解得 ，=2；当 k0 时，此函数是减函数，当 1x4 时，3y6，当 x=1 时，y=6；当 x=4 时，y=3， ，解得 ，=7故答案为：2 或7例 5 解：将点 A（m，3）代入 y=2x 得，2m=3，解得，m= ，点 A 的坐标为（ ，3），由图可知，不等式 2xax+4 的解集为 x 故选 A例 6 解：（1）L 1L 2，则 k1k2=1，2k=1，k=；（2）过点 A 直线与 y= x+3
15、垂直，设过点 A 直线的直线解析式为 y=3x+b，把 A（2，3）代入得，b=3，解析式为 y=3x3例 7 解：（1）乙的速度 v2=1203=40（米/分） ，故答案为：40；（2）v 1=1.5v2=1.540=60（米/分） ，6060=1（分钟） ，a=1，d1= ；9（3）d 2=40t，当 0t1 时，d 2d 110，即60t+6040t10，解得 0 ；当 0 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当 1t3 时，d 1d 210，即 40t（60t60）10，当 1 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰综上所述：当 0 或 1t 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰【聚焦山东中
16、考】1. B2. C3. B4.B5.解：（1）证明：AOB 与ACP 都是等边三角形，AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60，CAP+PAO=OAB+PAO，CAO=PAB，在AOC 与ABP 中，AOCABP（SAS） COA=PBA=90，点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上或 PBAB 或ABP=90故结论是：点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上或 PBAB 或ABP=90；（2）解 ：点 P 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上AOB 是等边三角形，A（0，3） ，B（ ， ） 当点 C 移动到点 P 在 y 轴上时，得 P（0，3） 设点 P 所在的直线方程为
17、：y=kx+b（k0） 把点 B、P 的坐标分别代入，得，解得 ，10所以点 P 所在的函数图象的解析式为：y= x3【备考真题过关】一、选择题1.B2.A3.B4. A5.A.6.B7. C8. B9. B10. C11. C12. A二、填空题13.y=3x+214.（1，4） ， （3，1） 15. 220016. 4三、解答题17.解：把点（1，-1）代入直线 y=2x-b 得，-1=2-b，解得，b=3函数解析式为 y=2x-3解 2x-30 得，x 3218. 解：（1）L 1L 2，则 k1k2=-1，2k=-1，k=- ；（2）过点 A 直线与 y= x+3 垂直，3设过点 A 直线的直线解析式为 y=3x+b，把 A（2，3）代入得，b=-3，解析式为 y=3x-319.解：（1）点 M 在直线 y=x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2，点 M 的坐标为（2，2） ，把 M（2，2）代入 y=- x+b 得-1+b=2，解得 b=3，12
