1、1、二次函数的定义定义： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ） 定义要点：a 0 最高次数为 2 代数式一定是整式练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。2.当 m_时,函数 y=(m+1) - 2+1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0,开口向上 a0？m22313、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h,
2、 k） ，通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-h)2+k(a0) 3,交点式:已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是 3 。例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过点（3，-6） 。求
3、a、b、c。解：二次函数的最大值是 2抛物线的顶点纵坐标为 2又抛物线的顶点在直线 y=x+1 上当 y=2 时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为 y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、a，b，c 符号的确定抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题：（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C 的符号：由抛物线与 y 轴的交点位置确定.（3）b 的符号：由对称轴的位置确定（4）b2-4ac 的符号：由抛物线与 x 轴的交点个数确定（5）a+b+c 的符号
4、：因为 x=1 时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由 x=1 时，对应的 y 值决定。当 x=1 时，y0,则 a+b+c0当 x=1 时，y0,则 a-b+c0当 x=-1，y0,c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c=0 B、a0,c=0C、a0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0，b 0(2)有一个交点 b2 4ac= 0(3)没有交点 b2 4ac 0若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点,则 b2 4ac 0例(1)如果关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根,则 m=,此时抛物线 y=x2-2x+m 与 x
5、轴有个交点.(2)已知抛物线 y=x2 8x +c 的顶点在 x 轴上,则 c=.(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0 的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数 y= 3 x2+x-10 与 x 轴的交点坐标是.41)25(xy=x2 )(2y有 两 个 不 相 等 的 实 数 根方 程时当 0,0422 acbxaacb .242,1acbx:,22 有 两 个 相 等 的 实 数 根方 程时当 .2,1没 有 实 数 根方 程时当 0,0422 acbaab判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根b2-
6、4ac0 与 x 轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac=0 与 x 轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac0 与 x 轴没有交点没有实数根7 二次函数的综合运用1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同,顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解: 抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同 a=1 或-1又 顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5, 顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)
7、 y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.2.若 a+b+c=0,a0,把抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位,再向左平移 5 个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由 a+b+c=0 可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2) 新抛物线向右平移 5 个单位,再向上平移 4 个单位即得原抛物线)0,2(abxyOxyOxyOab2练习题1直线 y3 x 1 与 yxk 的交点在第四象限，则 k 的范围是（ ）（A）k （B） k 1 （C）k1 （D）k1
8、或 k13【提示】由 ，解得 因点在第四象限，故 0， 0kxy.2ky23 k13【答案】B【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等2二次函数 y ax2bxc 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc0； （2）abc 0； （3）acb； （4）a 2b（A）1 （B）2 （C ）3 （D） 4【提示】由图象知 a0， 0，故 b0，而 c0，则 abc0当 x1 时，y0，即 acb0；当 x1 时，y0，即 ac b0【答案】B【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系因 a0，把（4）a 两边同除以 a，得
9、1 ，即2b21，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在 x1 的左侧，判断出 1，两边同时乘 a，得 a ，知（4）是a2 b正确的3若一元二次方程 x22 xm0 无实数根，则一次函数 y（m1）xm1 的图象不经过（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C ）第三象限 （D）第四象限【提示】由44 m0，得 m10，则 m10，直线过第二、三、四象限【答案】A【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限4如图，已知 A，B 是反比例函数 y 的图象上两点，设矩形 APOQ 与矩形 MONB 的面积为 S1，S 2，x2则（ ）（
10、A）S 1S 2 （B）S 1S 2 （ C）S 1S 2 （D）上述（A） 、 （ B） 、 （C）都可能【提示】因为 SAPOQ| k|2，S MONB2，故 S1S 2【答案】A【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|5若点 A（1，y 1） ，B（2，y 2） ，C（，y 3）在反比例函数 y 的图象上，则（ ）xk12（A）y 1 y2y 3 （B）y 1y 2y 3 （C ）y 1y 2y 3 （D）y 1y 3y 2【提示】因（k 21）0，且（k 21）y 12 y 2 y3，故 y1y 2y 3或用图象法求
11、解，因（k 21）0，且 x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在 y 轴负半轴上 y1，y 2，y 3 的相应位置即可判定【答案】B【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法在分析时应注意本题中的（k 21）06直线 yax c 与抛物线 yax 2bxc 在同一坐标系内大致的图象是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】两个解析式的常数项都为 c，表明图象交于 y 轴上的同一点，排除（A） ， （B ） 再从 a 的大小去判断【答案】D【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质 （B）错误的原因是由抛物线开口向上，知 a0，此时直线必过第一、三象限7已知函数
12、y x21840 x1997 与 x 轴的交点是（m，0） （n，0） ，则（m 21841 m1997） （n 21841 n1997）的值是（ ）（A）1997 （B）1840 （C ）1984 （D）1897【提示】抛物线与 x 轴交于（m，0） （n，0） ，则 m，n 是一元二次方程 x21840 x19970 的两个根所以 m21840 m19970，n 21840 n19970，mn1997原式（m 21840 m1997）m （n 21840 n1997）nmn1997【答案】A【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要
13、灵活地把所求代数式进行适当的变形8某乡的粮食总产量为 a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为 y（吨） ，人口数为 x，则 y 与 x 之间的函数关系为（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即 y 又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的xa一个分支【答案】D【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用 （A）错在画出了 x0 时的图象，而本题中 x 不可能小于 0（二）填空题（每小题 4 分，共 32 分）9函数 y 的自变量 x 的取值范围是_12x【提示】由 2 x 10，得 x ；又 x10，x 1综合可确定 x 的
14、取值范围2【答案】x ，且 x110若点 P（ab，a）位于第二象限，那么点 Q（a3，ab）位于第_象限【提示】由题意得 a0，ab0，则 b0故 a30，ab0【答案】一11正比例函数 yk （k1） 的图象过第_象限12kx【提示】由题意得 k2k 11，解得 k12，k 21（舍去） ，则函数为 y6 x【答案】一、三【点评】注意求出的 k1 使比例系数为 0，应舍去12已知函数 y x2（2m4）xm 210 与 x 轴的两个交点间的距离为 2 ，则 m_【提示】抛物线与 x 轴两交点间距离可应用公式 来求本题有|a 2 ，)10(4)(2m56故 m3【答案】3【点评】抛物线与 x
15、 轴两交点间距离的公式为 ，它有着广泛的应用|a13反比例函数 y 的图象过点 P（m，n） ，其中 m，n 是一元二次方程 x2kx40 的两个根，那么 P 点坐标是k_【提示】P（m，n）在双曲线上，则 kxymn，又 mn4，故 k4【答案】 （2，2） 【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用由题意得出 kmn4 是关键14若一次函数 ykxb 的自变量 x 的取值范围是2x 6，相应函数值 y 的范围是11y9，则函数解析式是_【提示】当 k0 时，有 ，解得bk691.5k当 k 0 时，有 ，解得2.42【答案】y x6 或 y x4255【点评】因 k 是待定字母，
16、而 k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同故本例要分 k0 时自变量最大值对应函数最大值，与 k0 时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论15公民的月收入超过 800 元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足 500 元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同某人本月收入 1260 元，纳税 23 元，由此可得所纳税款 y（元）与此人月收入 x（元）800x1300 间的函数关系为 _()【提示】因 1260800460， 5%，故在 800x 1300 时的税率为 5%46023【答案】y5% （ x800） 【点评】本题是与实际
17、问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过 800 元的部分才纳税，故列函数式时月收入 x 须减去 80016某种火箭的飞机高度 h（米）与发射后飞行的时间 t（秒）之间的函数关系式是 h10 t220 t，经过_秒，火箭发射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为 0，则10 t 220 t0，故 t0 或 t20【答案】20【点评】注意：t0 应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面（三）解答题17 （6 分）已知 yy 1y 2，y 1 与 x 成正比例，y 2 与 x 成反比例，并且 x1 时 y4，x 2 时 y5，求当 x
18、4 时 y 的值【解】设 y1k 1x，y 2 ，则 yk 1x 把 x 1 时 y4， x2 时 y5 分别代入上式，得，241k解得 .21 函数解析式为 y2 x 当 x 4 时， y2 4 17 所求的 y 值为 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出 y1，y 2 与 x 的函数解析式注意两个比例系数应分别用k1，k 2 表示出来，而不能仅用一个 k 值表示18 （6 分）若函数 ykx 22（k 1）xk1 与 x 轴只有一个交点，求 k 的值【提示】本题要分 k0，k 0 两种情况讨论【解】当 k0 时， y2 x1，是一次函数，此时，直线与 x 轴必有一个交点
19、当 k 0 时，函数为二次函数，此时，4（k1） 24 k（k 1）12 k 40 k 3 所求的 k 值为 0 或 【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为 0函数图象与 x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与 x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在 0 的条件下，图象与 x 轴只有一个交点19 （8 分）已知正比例函数 y4 x，反比例函数 y （1）当 k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由【解】由
20、 y4 x 和 y ，得k4 x2k 0， 16 k（1）当0，即 k0 时，两函数图象有两个交点；当0，即 k0 时，两函数图象没有交点；（2） 比例系数 k0，故0 两函数图象不可能只有一个交点20 （8 分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴，桥拱的 DGD 部分为一段抛物线，顶点 G 的高度为 8 米，AD 和 AD是两侧高为 5.5 米的立柱，OA 和 OA为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段 CD 和 CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为 14 （1）求桥拱 DGD所在抛物线的解析式及 CC
21、的长 （2）BE 和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为 4 米，相应的 AB 和 AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求 AB 和 AB的宽 （3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于 0.4 米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为 4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离为 7 米，它能否从 OA（OA ）安全通过？请说明理由【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度计算出D、G、D的坐标，当然也可由对称轴 x0 解之至于求 CC、AB、AB的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需
22、在抛物线的解析式中令x 4，求出相应的 y 值，即可作出明确的判断【解】 （1）由题意和抛物线的对称轴是 x0，可设抛物线的解析式为 yax 2c 由题意得 G（0，8） ，D（15，5.5） .2ca .890 y 821x又 且 AD5.5，ACD4 AC5.5422（米） CC2C2（OA AC）2（1522）74（米） CC的长是 74 米（2） ，BE 4，BE1 BC16 AB ACBC 22166（米） AB AB6（米） （3）此大型货车可以从 OA（OA）区域安全通过在 y 8 中，当 x4 时，y 168 ，而29019014537（70 .4） 0，5319 可以从 OA
23、 区域安全通过21 （8 分）已知二次函数 yax 2 bxc 的图象抛物线 G 经过（5，0） ， （0， ） ， （1，6）三点，直线 l 的解析式为 y2 2x3 （1 ）求抛物线 G 的函数解析式；（2）求证抛物线 G 与直线 l 无公共点；（3）若与 l 平行的直线 y2 xm 与抛物线 G 只有一个公共点 P，求 P 点的坐标【分析】 （1）略；（2）要证抛物线 G 与直线 l 无公共点，就是要证 G 与 l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线 y2 xm 与抛物线 G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得 P 点的坐标【解】 （1） 抛物线 G 通过（5，0） ， （0， ） ， （1，6）三点，25 ，cba62解得 .2531c
