1、二次函数与特殊的三角形第一组 等腰三角形(2016 山东临沂，26，13 分)（5）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点点 C 的坐标是(8，4)，连接 AC，BC(1)求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；(2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA=QA？(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以
2、 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由(2016 新疆建设兵团，23，13 分）如图，抛物线 的顶点为 E，该抛物23(0)yaxb线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 BO=OC=3AO，直线 与 y 轴交于1yx点 D （12）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由(2016 重庆 A，26，12 分)如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 与213yxx 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与
3、 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E.(1)判断ABC 的形状，并说 明理由；(2)经过 B C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止. 当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；(3)如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点E，点 A 的对应点为点 A. 将AOC 绕点 O 顺
4、时针旋转至 的位置，点 A C 的对1A应点分别为点 ， ，且点 恰好落在 AC 上，连接 ， . 是否能为等1C1 C1腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由.第二组 直角三角形10. （ 2016 山东省枣庄市，25，10 分）如图，已知抛物线 yax 2bxc (a0)的对称轴为直线 x1，且经过 A(1，0)，C(0，3) 两点，与 x 轴的另一个交点为 B若直接 ymxn 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；设点 P 为抛物线的对称
5、轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标xyOCAB答案：1、(1)解：令 y=0，则2x+10=0，x=5，A(5，0)把 x=0 代入 y=2x+10，得 y=10，B(0，10)设过 O，A，C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，可得025648cab，=+解得10bc， ，=-抛物线的解析式为 y= x2 x3 分165ABC 是直角三角形，理由如下：B(0，10)，A(5，0)，OA=5，OB=10，AB 2=125，AB= C(8，4)，A(5，0)，AC 2=25，AC=5B(0，10)，C(8，4)，BC 2=100，BC=10AC 2+BC
6、2=AB2，ABC 是直角三角形，且C=905 分(2)PA=QA，又PA 2=(2t)2+52，QA 2=(10t) 2+52，(2t) 2+52=(10t) 2+52，解得 t= 103故当运动时间为 秒时，PA=QA8 分(3)存在抛物线 y= x2 x 过 O，A 两点，则对称轴是 x= ，设 M 的坐标为( ，m)，1655252当 AM=BM 时，M 是 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，与 AB 交于点 Q，由题意可知 PQy 轴，P 是 OA 的中点，Q 是 AB 的中点，AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是 Q，此时不能形成三角形
7、当 AB=BM 时，( )2+(10m) 2=AB2=125，解得 m1= ，m 2= ，52059+0519-M 1( ， )，M 2( ， )10 分2019+059-当 AB=AM 时，(5 )2+m2=AB2=125，解得 m3= ，m 4= ，525192M 3( ， )，M 4( ， )52919综上所述，存在点 M，共有 4 个点，分别是 M1( ， )，M 2( ， )，52019+5019-M3( ， )，M 4( ， )12 分52195219解：（1）由抛物线 ，令 x=0，得 y=33(0)yaxbC（0，3） ，OC=3BO=OC=3AO，OB=3，AO =1A（1，
8、0） ，B（3，0）代入 ，得：2()yaxb,930解得： 1,2ab抛物线的解析式为 23yx（2）P 1（1，1） ，P 2（1， ） ，P 3（1， ） ，P 4（1， ） ，P 5（1，77）4设点 P 的坐标为（1，m）分三种情况讨论：若 PC=PB，则 PC2=PB2即 2(3)(3)解得：m=1，P 1（1，1） 若 PC=BC，则 PC2=BC2即 22(3)()解得： ，17m2317P 2（1， ） ，P 3（1， ）3若 PB=BC，则 PB2=BC2即 2()()解得： ，14m214P 4（1， ） ，P 5（1， ）综上所述，可知满足条件的点 P 的坐标共有 5
9、个，分别是 P1（1，1） ，P2（1， ） ，P 3（1， ） ，P 4（1， ） ，P 5（1， ）37743、(1)ABC 为直角三角形，理由如下：当 y=0 时，即 ，解这个方程，得 . 20x123,x点 A( ，0)，B( ，0). 3OA= ，OB=3 . 当 x=0 时，y=3，点 C(0，3)， OC=3. 在 RtAOC 中， .22231OA在 RtBOC 中， .6B又 ，12+36=48， .22348A22ACBABC 为直角三角形. (2)如图 1，点 B( ，0)，C(0，3) ，直线 BC 的解析式为 .3yx过点 P 作 PG/y 轴交直线 BC 于点 G.
10、 设点 P(a， )，则点 G(a， )，23a3PG=( )( )= . 1321a设点 D 的横坐标为 ，点 C 的横坐标为 .DxCx.213322PCSP 23968 ， 当 时，PCD 的面积最大，此时点 P( ， ). 03aa 2154如图 1，将点 P 向左平移 个单位至点 P，连接 AP交 y 轴于点 N，过点 N 作 NM抛物3线对称轴于点 M，连接 PM. 点 Q 沿 P M N A 运动，所走的路程最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA 的长. 点 P( ， )，点 P( ， ).32542154又 点 A( ，0)，直线 AP的解析式为 .3562yx当 x=0 时
11、，y= ，点 N(0， ). 5252过点 P作 PHx 轴于点 H，则有 HA= ，PH= ，AP= .315437点 Q 运动的最短路径的长为 PM+MN+AN= + = . 74(3)如图 2，在 RtAOC 中，tanOAC= ，OAC=60.3OCAOA= ， 为等边三角形， =60， =30.1OA111B又由 ，得点 .3C1,2点 A( ，0)，E( ，4) ，AE= .7 .27直线 AE 的解析式为 ，32yx设点 E(a， )，则点 A( ， ).3a32a .2221 7549C若 ，则有 ，即 .1A2211CE22373549aa解这个方程，得 ，点 E( ，5). 3a3若 ，则有 ，即 ，1CE221A27354928a解这个方程，得 ， .539a2点 E( ， )或( ， ). 271371若 ，则有 ，即 ，1AC221EAC228a解这个方程，得 ， .39a239点 E( ， ). 21综上所述，符合条件的点 E的坐标为( ，5) 或( ， )或325392713( ， )或( ， ).539271391
