1、 二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。4. 的性质：2yaxhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值y0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值xx的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小值yc向下 ，轴时， 随 的增大而减小；
2、 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值x0x的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值y0向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大值yxxh的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小值y二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax
3、， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( mxbxy)()(2三、二次函数 与 的比较2yaxhk2ac从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过yxb配方可以得到前者，即 ，其中 224b
4、acyax 242bacbhk，k0a向下 hk，X=h时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大值yk四、二次函数 图象的画法2yaxbc五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确2yaxbc2()yaxhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点0，0，、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc， x1x2对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy五、二次函数 的性质2yaxbc1.
5、 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当2bxayxyx时， 有最小值 24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当0a 2bxa24bac，时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时，2bxyxy2x有最大值 y24ac六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcabc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkhk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解
6、析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以40bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越0大； 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越a大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决aa定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴
7、ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧002y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；0b02ay当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧0b02ay总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，aax20aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当
8、 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为0cyxy负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已
9、知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；hk hk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxbc 22
10、byaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 hk hk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2x2-4y=2x2
11、+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2 y=-2(x-3)2y=-2x2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例 1】求作函数 的图象6421xy【解】 )128(2x-)(2x以 为中间值，取 的一些值，列表如下：4x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y 250 3-2 20 5【例 2】求作函数 的图象。42x【解】 )3(32xy727)(x先画出图角在对称轴 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）
12、部分就可。二、一元二次函数性质x-2 -1 0 1 2y7 6 5 4 3【例 3】求函数 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。962xy【解】 7)3(7222 xx由配方结果可知：顶点坐标为 ，对称轴为 ；，3x当 时， 013xminy函数在区间 上是减函数，在区间 上是增函数。(， )，【例 4】求函数 图象的顶点坐标、对称轴、最值。152xy，03)(ab 209)5(43142abc函数图象的顶点坐标为 ，对称轴为)9,1(x当 时，函数取得最大值0503x209mazy函数在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。,(),3【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、
13、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例 3(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4，可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式： )0()2(2abcaxy【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例 1 如果函数 是二次函数，那么 m 的值为 1)3(2mxxy。例 2 抛物线 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 42xy。2.关于二次函数的性质及图象-1 OX=1YX例 3 函数 的图象如图所示，)0(2acbxy则 a、b、c， ， ， 的符号cb为 ，例 4 已知 abc=0 9a3bc=0,则二次函数 y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（ ）（
14、A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例 5 已知：函数 的图象如图：那么函数解析式为（ ）cbxay2（A） （B）32x 32xy（C） （D）y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).例 7 如图：ABC 是边长为 4 的等边三角形，AB 在 X 轴上，点 C 在第一象限，AC 与 Y轴交于点 D，点 A 的坐标为（-1，0） （1）求 B、C、D 三点的坐标；（2）抛物线经过 B、C、D 三点，求它的解析
15、式；cbxay2 3o-13yx8642-2-4-6-8-10 -5 5 10DOCA B【练习题】一、选择题1. 二次函数 的顶点坐标是( )247yxA.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. ()()yx1yx21yx3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )2ykx0kx4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;当 和 时,2(0)yaxbc 1x3函数值相等; 当 时, 的值只能取 0.其中正确的个数是( ) 42yxA.1 个 B.2 个 C. 3
16、 个 D. 4 个5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbc图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 （ 212.3x和）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ ）2yaxbc(,)acbA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程 的正根的个数为（ ）2xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 2y 2yxC. 或 D. 或x2yx2yx二、填空题9二次函数 的对
17、称轴是 ，则 _。23yxb2xb10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当 0 时，函数值 随自变量y的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。x12抛物线 的顶点为 C，已知直线 过点 C，则这条直线与两坐2()6yx3ykx标轴所围成的三角形面积为 。13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位,再向412bc下平移 2 个单位得到的,则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中
18、心M 处 5 米的地方，桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ).30xy52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随 x 的增大而增大?y16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 201hvtg（0t2） ，其中重力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交2yxbc3yx点 A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4 的点 PAPSD的坐标。第 15 题图
