1、第 1 页 共 15 页经典难题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心, C、E 是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO求证:CDGF (初二)2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内点,PADPDA15 0求证:PBC 是正三角形 (初二)3、如图,已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点求证:四边形 A2B2C2D2 是正方形 (初二)4、已知:如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、BC的延长线交 MN 于 E、F求证:DEN F APCDBA
2、FGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDM B第 2 页 共 15 页PCGFBQADE经 典 难 题(二)1、已知:ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点) ,O 为外心,且 OMBC 于 M(1)求证:AH2OM;(2)若BAC60 0,求证:AHAO (初二)2、设 MN 是圆 O 外一直线,过 O 作 OAMN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于B、C 及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证:APAQ (初二)3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 B
3、C、DE,设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证:APAQ (初二)4、如图,分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG,点 P 是 EF 的中点求证:点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 (初二)ADH EM CBOGAODBECQP NMOQPBDECNM A第 3 页 共 15 页经 典 难 题(三)1、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE AC,AEAC,AE 与 CD 相交于 F求证:CECF (初二)2、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE AC,且 CECA,直线 EC 交 DA 延长线于 F求证:AEAF (
4、初二)3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点,PFAP,CF 平分DCE求证:PAPF (初二)4、如图,PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证:ABDC,BCAD (初三)DAFDECBEDACBFFEP CBAO DBFAECP第 4 页 共 15 页经 典 难 题(四)1、已知:ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA 3,PB 4,PC5求:APB 的度数 (初二)2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且PBA PDA求证:PAB PCB (初二)3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:
5、ABCDADBCACBD (初三)4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点, AE 与 CF 相交于 P,且AECF求证:DPA DPC (初二)APCBPA DCBCBDAFPDE CBA第 5 页 共 15 页经 典 难 题(五)1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点,LPA PB PC,求证: L22、已知:P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PAPB PC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点,并且 PAa ,PB2a,PC 3a,求正方形的边长4、如图,ABC 中,ABCACB 80 0,D、E 分别是 AB、AC 上的点
6、,DCA30 0,EBA20 0,求BED 的度数APCBACBPDEDCBAACBPD第 6 页 共 15 页经 典 难 题(一)1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG,即GHF OGE,可得 = = ,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。EOGFHCD2. 如下图做DGC 使与ADP 全等,可得PDG 为等边 ,从而可得DGCAPD CGP, 得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG15 0所以DCP=30 0 ,从而得出PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点,连接
7、EB2并延长交 C2Q 于 H 点,连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点,由 A2E= A1B1= B1C1= FB2 ,EB 2= AB= BC=FC1 ,又GFQ+Q=90 0 和1GEB 2+Q=90 0,所以GEB 2=GFQ 又B 2FC2=A 2EB2 ,可得B 2FC2A 2EB2 ,所以 A2B2=B2C2 , 又GFQ+ HB 2F=900 和GFQ=EB 2A2 ,从而可得A 2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等,从而得出四边形 A2B2C2D2 是正方形。第 7 页 共 15 页4.如下图连接 AC 并取其中点 Q,连接 QN 和 QM,所以可得QMF=F
8、, QNM= DEN 和QMN=QNM,从而得出 DENF。经 典 难 题(二)1.(1)延长 AD 到 F 连 BF,做 OGAF,又F=ACB=BHD,可得 BH=BF,从而可得 HD=DF,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB,OC,既得BOC=120 0,从而可得BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。第 8 页 共 15 页3.作 OFCD,OGBE,连接 OP,OA,OF,AF,OG,AG ,OQ。由于 ,2ADCFDBEBG=由此可得ADFABG ,从而可得 AFC=AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四
9、点共圆,可得AFC=AOP 和AGE= AOQ ,AOP= AOQ ,从而可得 AP=AQ。4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG,CI,FH。可得 PQ= 。2EGFH+由EGA AIC,可得 EG=AI,由BFHCBI,可得 FH=BI。从而可得 PQ= = ,从而得证。2AIB+第 9 页 共 15 页经 典 难 题(三)1.顺时针旋转ADE,到 ABG,连接 CG.由于ABG=ADE=90 0+450=1350从而可得 B,G,D 在一条直线上,可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC,可得AGC 为等边三角形。AGB=30 0,既得EAC=30 0,从而可得A
10、 EC=750。又EFC=DFA=45 0+300=750.可证:CE=CF。2.连接 BD 作 CHDE,可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH,可得CEH=30 0,所以CAE=CEA= AED=15 0,第 10 页 共 15 页又FAE=90 0+450+150=1500,从而可知道F=15 0,从而得出 AE=AF。3.作 FGCD,FEBE,可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tanEPF= = ,可得 YZ=XY-X2+XZ,XYZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出ABPPEF ,得到 PAPF ,得证 。