1、- 1 -D CBA2 1D CBA（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形 ABC 用符号表示为ABC.三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的没有意义2、（1）三角形
2、按边分类： （2）三角形按角分类：3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。注意： （1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边4、和三角形有关的线段：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上的中线. 2、BD=DC=0.5BC.3、AD 是ABC 的中线；注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三
3、角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形- 2 -D CBA21BACMD（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。表示法：1、AD 是ABC 的BAC 的平分线.2、1=2=0.5BAC.3、AD 平分BAC，交 BC 于 D注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,表示法：1、AD 是ABC 的 BC 上的高。 2、ADBC 于 D。3、ADB=ADC=90 。 4、AD 是ABC 的高。
4、注意：三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；三角形三条高所在直线交于一点（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。）4、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于 180推论：直角三角形的两个锐角互余。5、三角形内角外角的关系：(1)三角形三个内角的和等于 180; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.6、三角形的外角
5、的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:ACD、BCE 都是ABC 的外角，且ACD= BCE， 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.7. 三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作 CMAB 由于 B、C、D 共线A= 1，B=2.即ACD=1+2=A+B.那么ACDA.ACDB。8、（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫
6、做多边形。多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）180- 3 -多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。多边形的外角和：多边形的内角和为 360。多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。多边形对角线的条数：（1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。（2）n 边形共有 条对角线。23)-(（2）正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形
7、覆盖平面。9、三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性。（3）多边形没有稳定性。二、题型解析1. 三角形内角和定理的应用例 1. 如图已知 中， 于 D，E 是 AD 上一点。ABCABC90，求证： ED证明：由 ADBC 于 D，可得CADABC 又 ABDEB则 可证 即 ABE CAE C说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于 180间接求得。例 2. 锐角三角形 ABC 中，C2B ，则B 的范围是（ ）A. B. C. D.100045 60B- 4 -分析：
8、因为 为锐角三角形，所以ABC09B又C2B ， 又 A 为锐角，为锐角 02945,即 .故选 C。933例 3.已知三角形的一个外角 等于 160，另两个外角的比为180()ABC2:3，则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于 360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于 160 另两个外角的和等于 200设这两个外角的度数为 2x，3x 2x+3x=200 解得：x=40,2x=80,3x=120 与
9、80相邻的内角为 100 这个三角形为钝角三角形 应选 C2. 三角形三边关系的应用例 4. 已知：如图在 中， ，AM 是 BC 边的中线。ABC求证： M12证明：延长 AM 到 D，使 MDAM ，连接 BD在 和 中，CMABAMCDBM， ，在 中， ，而BAA221说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得 ，然后通过倍长中2B线的方法，相当于将 绕点旋转 180构成旋转型的全等三角形，把 AC、AB、2AMAC转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有- 5 -。请同学们自己试着证明。1212ABCMABC3. 角平分线定理的应用例 5. 如图，BC
10、90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC。求证：AM 平分 DAB。证明：过 M 作 MGAD 于 G，DM 平分ADC ，MCDC，MGADMCMG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等） MCMB，MGMB而 MGAD，MBABM 在ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） DM 平分ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MGMB 。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。4. 全等三角形的应用例 6. 如图，已知：点 C 是 FAE 的平分线 AC 上一点，CE AE ，CF AF，E、F 为垂
11、足。点 B 在 AE 的延长线上，点 D 在 AF 上。若 AB21，AD 9，BC DC10。求 AC 的长。分析：要求 AC 的长，需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长，而 AE、CE 均不是- 6 -已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出 AE、CE 的长，使问题得以解决。解：AC 平分FAE，CFAF，CEAE CFCEACEF90()ACFEHLAFEBEDF90DBFE()DB设 ，则xAExAFDx219，A， ，216在 中，RtBCEBC22108在 中， AE2617答：AC 的长为 17。分析：初看此题，看到 DED
12、F FE 后，就想把 DF 和 FE 的长逐个求出后再相加得DE，但由于 DF 与 FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BDCE9”，就应想一想， DFFE 是否与 BDCE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出 DFFE 也就是 DE 的长了。解：BF 是B 的平分线 DBFCBF 又 DEBC DFBCBF BDF DFB DF BD 同理，FECE DF FEBDCE9 即 DE9 故选 A例 7. 已知：如图， 中，ABAC，ACB 90，D 是 AC 上一点，AE 垂直 BDAC的延长线于 E， 。 求证：BD 平分ABCBD12
13、- 7 -分析：要证ABDCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。简证：延长 AE 交 BC 的延长线于 F 易证 （ASA 或 AAS）ACBD于是又不难证得BDAF12E12EAEBFS()BD 平分BAC C说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。练习题：1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm，则这个等腰三角形底边的长为_。2. 在锐角 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC，则ABC_。ABC3. 如图所示，D 是 的A
14、CB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较BAC 与B 的大小关系。 ADCE12- 8 -4、求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于 45。5. 如图所示，ABAC，BAC90，M 是 AC 中点，AEBM。 求证：AMBCMD BDCAEM【练习题答案】 1. 5cm 2. 453. 分析：如图所示，BAC 是 的外角，所以 ACDBAC1因为12，所以BAC2 又因为2 是 的外角，所以2B，问题得证。答：BACB CD 平分ACE，12 BAC1，BAC22B，BACB4，证明：省略- 9 -5. 证明一：过点 C 作 CFAC 交 AD 的延长线于 F 1290BAEBAE又BACACF90 ACAB证明二：过点 A 作 AN 平分BAC 交 BM 于 NMCBD1E23又 AN 平分BAC 2390BAE 145C又 ABAC 又 AMCMNCD NAMC45- 10 -NAMDCB 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
