1、【熟悉知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力【典型例题】例 1（1）直线 xy=1 与圆 x2y 22ay=0(a0)没有公共点，则 a 的取值范围是 （ ）A （0， 1） B （ 1， 1） 2 2 2C （ 1， 1） D （0， 12 2 2（2）圆（x1) 2(y )2=1 的切线方程中有一个是 （ ）3Axy=0 Bxy=0 Cx=0 Dy=0（3） “a=b”是“直线 ”的 （ ）22()()yayb与 圆 相 切A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又
2、不必要条件（4）已知直线 5x12ya=0 与圆 x2y 22x=0 相切，则 a 的值为 （5）过点（1， ）的直线 l 将圆（x2) 2y 2=4 分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时，2直线 l 的斜率 k= 例 2 设圆上点 A（2，3）关于直线 x2y=0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 xy1=0相交的弦长为 2 ，求圆的方程2例 3 已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x 2y 2=1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于 （0） 求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线例 4 已知与曲线 C：x 2y 22x2y1=0 相切的直线 l 叫 x 轴，y 轴于 A
3、，B 两点，|OA|=a,|OB|=b(a2,b2)(1)求证：（a2)(b 2)=2；(2)求线段 AB 中点的轨迹方程；（3）求AOB 面积的最小值【课内练习】1过坐标原点且与圆 x2y 24x2y =0 相切的直线的方程为 （ ）52Ay= 3x 或 y= x By=3x 或 y= x 13 13Cy=3x 或 y= x Dy=3x 或 y= x13 132圆(x 2) 2y 2=5 关于原点(0,0) 对称的圆的方程为( )A(x2) 2y 2=5 Bx 2 ( y2) 2=5 C (x2) 2( y 2)2=5 Dx 2 ( y2) 2=5 3对曲线|x| |y|=1 围成的图形，下
4、列叙述不正确的是 （ ）A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点轴对称 D关于 y=x 轴对称4直线 l1：y=kx 1 与圆 x2y 2kxy4=0 的两个交点关于直线 l2：yx=0 对称，那么这两个交点中有一个是 （ ）A （1，2） B （1，2） C （3，2） D （2，3）5若直线 y=kx2 与圆（x2) 2(y3) 2=1 有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 6已知直线 axbyc 0 与圆 O：x 2y 21 相交于 A、B 两点，且|AB| ，则3 .OBA7直线 l1：y=2x4 关于点 M（2，3）的对称直线方程是 8求直线 l1：xy4=0 关于直线
5、l：4y3x1=0 对称的直线 l2 的方程9已知圆 C：x 2y 22x4y 3=0 （1）若 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程；（2）从圆 C 外一点 P（x 1,y1)向圆引一条切线，切点为 M，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM| 最小的 P 点的坐标10由动点 P 引圆 x2y 2=10 的两条切线 PA，PB ，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1,k2(1)若 k1k 2k 1k2=1,求动点 P 的轨迹方程；（2）若点 P 在直线 xy=m 上，且 PAPB，求实数 m 的取值范围115 直线与圆的综合应用A 组1设直线过点（0，a）
6、 ，其斜率为 1，且与圆 x2y 2=2 相切，则 a 的值为 （ ）A B2 C2 D42 22将直线 2xy0，沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x2+y2+2x4y=0 相切，则实数 的值为A3 或 7 B 2 或 8 C0 或 10 D1 或 113从原点向圆 x2y 212y 27=0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )A B 2 C 4 D 64若三点 A（2，2） ，B（a,0)，C（0，b)（a，b 均不为 0）共线，则 的值等于 1ab5设直线 axy3=0 与圆（x1) 2(y 2) 2=4 有两个不同的交点 A，B，且弦 AB 的长为2 ，则
7、a 等于 36光线经过点 A（1，） ，经直线 l：xy1=0 反射，反射线经过点 B（1，1） 74（1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标 7在ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x2y1=0,A 的平分线所在直线方程为y=0,若 B 点的坐标为（1，2） ，求点 A 和点 C 的坐标8过圆 O：x 2y 2=4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这个圆的切线 l，M 为 l 上任意一点，过 M作圆 O 的另一条切线，切点为 Q，当点 M 在直线 l 上移动时，求MAQ 垂心 H 的轨迹方程ABCxyOB 组1已知两定点 A（2，0） ， B（1，0） ，如果动点 P 满足|PA
8、|=2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 （ ）A B4 C8 D92和 x 轴相切，且与圆 x2y 2=1 外切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）Ax 2=2y1 Bx 2=2y1 Cx 2=2y1 Dx 2=2|y|13设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为0A、 B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A20 B 19 C18 D164设直线 和圆 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平分0132yx 0322xy线方程是 .5已知圆 M：（xcos) 2 (ysin) 2=1，直线 l：y=kx，下面四个命题A对任意实数 k 和 ，直线 l
9、 和圆 M 都相切；B对任意实数 k 和 ，直线 l 和圆 M 有公共点；C对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 和圆 M 相切；D对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 和圆 M 相切其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 6已知点 A，B 的坐标为（3，0） ， （3，0） ，C 为线段 AB 上的任意一点，P ，Q 是分别以 AC，BC 为直径的两圆 O1，O 2 的外公切线的切点，求 PQ 中点的轨迹方程7已知ABC 的顶点 A（1，4） ，且 B 和C 的平分线分别为lBT：y1=0,l CK:xy1=0, 求 BC 边所在直线的方程8设 a,b,c,都是整数，过圆
10、x2y 2=（3a1) 2 外一点 P（b 3b,c 3c)向圆引两条切线，试证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点（纵横坐标均为整数的点） 115 直线与圆的综合应用【典型例题】例 1 （1）A提示：用点到直线的距离公式（2）C提示：依据圆心和半径判断（3）A提示：将直线与圆相切转化成关于 ab 的等量关系（4）18 或 8提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况（5） 提示：过圆心（2，0）与点（1， ）的直线 m 的斜率是 ，要使劣弧所对圆2 2心角最小，只需直线 l 与直线 m 垂直例 2、设圆的方程为（xa) 2(y b) 2=r2, 点 A（2，3）关于直
11、线 x2y=0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x2y=0 上，a2b=0，又（2a) 2(3 b) 2=r2,而圆与直线 xy1=0相交的弦长为 2 ， ，故 r2( )2=2,依据上述方程解得：2 1b或b1= 3a1=6r12=52) b2= 7a2=14r22=244)所求圆的方程为（x6) 2 (y3) 2=52，或（x14) 2(y7) 2=224例 3、设切点为 N，则|MN| 2=|MO|2|ON| 2=|MO|21，设 M（x,y), 则，整理得（ 21） （x 2y 2)4x (14 2）=021()yxy当 =1时，表示直线 x= ；54当 1时，方程化为 ，它表示圆心
12、在 ，半径为22213()()xy2(,0)1的一个圆213|例 4、 （1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于 1，化减即得；（2）设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入（a 2)(b 2)=2，得（x1)(y1)= (x1,y1) ；12(3)由（a2)(b 2)=2 得 ab2=2(ab)4 ,解得 2 （ 2 不合，舍去） ，当ab ab 2 ab 2且仅当 a=b 时，ab 取最小值 64 ，AOB 面积的最小值是 32 2 2【课内练习】1A提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率 2D提示：求圆心关于原点的对称点3C.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规
13、律 4A提示：圆心在直线 l2 上50k 提示：直接用点到直线的距离公式或用法436 提示：求弦所对圆心角2172xy10=0提示：所求直线上任意一点（x,y) 关于（2，3）的对称点（4x,6y) 在已知直线上82x11y16=0提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于 l 的对称点，用两点式写 l2 的方程；或直接设 l2 上的任意一点，求其关于 l 的对称点，对称点在直线 l1 上求对称点时注意，一是垂直，二是平分9 （1）提示：切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等， 切线的斜率是1分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或法，解得切线的方程为： xy3=0, xy1=
14、0, xy5=0, xy1=0 (2)将圆的方程化成标准式（x1) 2(y2) 2=2，圆心 C（1，2） ，半径 r= ，2切线 PM 与 CM 垂直，|PM| 2=|PC|2|CM| 2，又 |PM|=|PO|，坐标代入化简得 2x14y 13=0|PM|最小时即 |PO|最小，而|PO| 最小即 P 点到直线 2x14y 13=0 的距离，即 3510从而解方程组 ，得满足条件的点 P 坐标为（ ，） 219043xy 3103510 （1）由题意设 P（x 0,y0)在圆外,切线 l：yy 0=k(xx 0)， ，02|1ky（ x02 10)k22x 0y0ky 0210=0由 k1
15、k 2k 1k2=1 得点 P 的轨迹方程是 xy2 =05（2）P（x 0,y0)在直线 xy=m 上，y 0=mx 0,又 PAPB，k 1k2=1, ,即：201yxx02y 02=20,将 y0=mx 0 代入化简得,2x 022mx 0m 220=00,2 m2 ,又x 02y 0210 恒成立，m 2,或 m210 10 5m 的取值范围是 2 ， 2 （2 ，2 10 5 5 10115 直线与圆的综合应用A 组1B提示：用点到直线的距离公式或用 法 2A提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式3B提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角4提示：由三点共线得两两连线斜
16、率相等，2a2b=ab，两边同除以 ab 即可1250提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解6 （1）入射线所在直线的方程是：5x4y2=0；（2）反射点（ ， ） 提示：用入23 13射角等于反射角原理7点 A 既在 BC 边上的高所在的直线上，又在 A 的平分线所在直线上，由得 A（1，0）x 2y 1=0y=0 )kAB=1又A 的平分线所在直线方程为 y=0kAC=1AC 边所在的直线方程为 y=（x1） 又 kBC=2, BC 边所在的直线方程为 y2=2（x1） 联列得 C 的坐标为（5， 6）8设所求轨迹上的任意一点 H（x,y) ，圆上的切点 Q（x 0,y0)QHl,AHMQ
17、,AHOQ,AQQH又|OA|=|OQ|，四边形 AOQH 为菱形x0=x,y0=y2点 Q（ x0,y0)在圆上，x 02y 02=4H 点的轨迹方程是：x 2（ y2） 2=4（x0)B 组1B提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2 为半径的圆2D提示：设圆心（x,y)，则 2|1xy3C提示：考虑斜率不相等的情况4 提示：弦的垂直平分线过圆心03yx5 B，D提示：圆心到直线的距离=|sin( ）|122|cosin|1|sin()|1kkd6作 MCAB 交 PQ 于 M，则 MC 是两圆的公切线|MC|=|MQ|=|MP| ，M 为 PQ 的中点设 M
18、（x,y),则点 C，O 1，O 2 的坐标分别为（x,0),( ,0),( ,0) 3 x2 3 x2连 O1M，O 2M，由平面几何知识知O 1MO2=90|O1M|2|O 2M|2=|O1O2|2，代入坐标化简得：x 24y 2=9(3x3)7 BT,CK 分别是 B 和C 的平分线，点 A 关于 BT,CK 的对称点 A，A必在 BC 所在直线上，所以 BC 的方程是 x2y3=08线段 OP 的中点坐标为（ （b 3b), (c3c), 以 OP 为直径的圆的方程是 x （b 3b)12 12 122y (c3c) 2= （b 3b) 2 (c3c) 212 12 12将 x2y 2=（3a1) 2 代入 得：（b 3b)x(c 3c)y= （3a1) 2这就是过两切点的切线方程因 b3b=b(b1)(b 1) ，它为三个连续整数的乘积，显然能被整除同理，c 3c 也能被 3 整除于是（3a1) 2 要能被 3 整除，3a1 要能被 3 整除，因 a 是整数，故这是不可能的从而原命题得证
