1、初中数学分式一、分式的定义：一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，A 为分子，B 为分母。二、与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（ ） 分式无意义：分母为 0（ ）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ ） BA分式值为正或大于 0：分子分母同号（ 或 ）0分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）BA分式值为 1：分子分母值相等（ A=B） 分式值为-1：分子分母值互为相反数（ A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示： ， ，其中 A、B、C 是整式，C 0。CBA拓展：分
2、式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0。四、分式的约分1定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3注意：分式的分子与分母 均为单项式时可直接约分 ，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取
3、分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数 .2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘
4、除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： dbca分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： nba 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： cba异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： db整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注
5、意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。七、整数指数幂 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即： （ ）nmamnanbanma0） （ ） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1）nbn1010其中 m，n 均为整数。八、分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。 （产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如
6、果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。九、列分式方程基本步骤： 审仔细审题，找出等量关系。 设合理设未知数。 列根据等量关系列出方程（组） 。 解解出方程（组） 。注意检验 答答题。分式计算题精选一选择题（共 2 小题）1 （2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 ，设公共汽车的平均速度为 x 千米/ 时，则下面列出的方程中正确的是（ ）ABCD
7、2 （2011齐齐哈尔）分式方程 = 有增根，则 m 的值为（ ）A0 和 3 B1 C 1 和2D3二填空题（共 15 小题）3计算 的结果是 _ 4若 ，xy+yz+zx=kxyz，则实数 k= _ 5已知等式：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ， ，10+ =102 ， （a，b 均为正整数） ，则 a+b= _ 6计算（x+y） = _ 7化简 ，其结果是 _ 8化简： = _ 9化简： = _ 10化简： = _ 11若分式方程： 有增根，则 k= _ 12方程 的解是 _ 13已知关于 x 的方程 只有整数解，则整数 a 的值为 _ 14若方程 有增根 x=5，则 m=
8、 _ 15若关于 x 的分式方程 无解，则 a= _ 16已知方程 的解为 m，则经过点（m，0）的一次函数 y=kx+3 的解析式为 _ 17小明上周三在超市花 10 元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜 0.5 元，结果小明只比上次多花了 2 元钱，却比上次多买了 2 袋牛奶，若设他上周三买了 x 袋牛奶，则根据题意列得方程为 _ 三解答题（共 13 小题）18计算：19化简： 20A 玉米试验田是边长为 a 米的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了 500 千
9、克（1）哪种玉米的单位面积产量高？21化简： = _ 22化简： 23计算： 24计算 25解方程： 26解方程：27解方程： =028解方程：2 =1；利用的结果，先化简代数式（1+ ） ，再求值29解方程：（1）（2） 30解方程：（1） =1； （2） =02014 寒假初中数学分式计算题精选参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1 （2012台州）小王乘公共汽车从甲地到相距 40 千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多 20 千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 ，设公共汽车的平均速度为 x 千米/ 时，则下面列出的方程中正确的是（ ）ABCD考点： 由
10、实际问题抽象出分式方程3415023专题： 压轴题分析： 根据公共汽车的平均速度为 x 千米/时，得出出租车的平均速度为（x+20）千米/ 时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了 ，得出分式方程即可解答： 解：设公共汽车的平均速度为 x 千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/ 时，根据回来时路上所花时间比去时节省了 ，得出回来时所用时间为： ，根据题意得出：= ，故选：A点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，本题的关键是把握题意，利用回来时路上所花时间比去时节省了 ，得出方程是解题关键2 （2011齐齐哈尔）分式方程 = 有增根，则 m 的值为（ ）A0 和 3 B1 C
11、 1 和2D3考点： 分式方程的增根；解一元一次方程3415023专题： 计算题分析： 根据分式方程有增根，得出 x1=0，x+2=0，求出即可解答： 解： 分式方程 = 有增根，x1=0，x+2=0，x1=1，x 2=2两边同时乘以（x1） （x+2） ，原方程可化为 x（x+2）（x1） （x+2）=m ，整理得，m=x+2，当 x=1 时，m=1+2=3 ；当 x=2 时，m=2+2=0，当 m=0 时，分式方程变形为 1=0，此时分式无解，与 x=2 矛盾，故 m=0 舍去，即 m 的值是 3，故选 D点评： 本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方
12、程的增根的意义是解此题的关键二填空题（共 15 小题）3计算 的结果是 考点： 分式的混合运算3415023专题： 计算题分析： 根据运算顺序，先对括号里进行通分，给 a 的分子分母都乘以 a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把 a21 分解因式，约分即可得到化简结果解答： 解：= （ ）= =故答案为：点评： 此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题注意运算的结果必须是最简分式4若 ，xy+yz+zx=kxyz，则实数 k= 3 考点： 分式的混合运算3415023专题： 计算题分析： 分别将
13、去分母，然后将所得两式相加，求出 yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出 k 的值也可用两式相加求出 xyz 的倒数之和，再求解会更简单解答： 解：若 ，则 + + = =5，yz+2xz+3xy=5xyz；+ + = =7，3yz+2xz+xy=7xyz；+得，4yz+4xz+4xy=5xyz+7xyz，4（yz+xz+xy）=12xyz，yz+xz+xy=3xyzxy+yz+zx=kxyz，k=3故答案为：3点评： 此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出 yz+xz+xy=3xyz5 （2003武汉）已知等式：2+ =22 ，
14、3+ =32 ，4+ =42 ，10+ =102 ， （a，b 均为正整数） ，则a+b= 109 考点： 分式的混合运算3415023专题： 规律型分析： 易得分子与前面的整数相同，分母=分子 21解答： 解：10+ =102 中，根据规律可得 a=10，b=10 21=99， a+b=109点评： 此题的关键是找到所求字母相应的规律6 （1998河北）计算（ x+y） = x+y 考点： 分式的混合运算3415023专题： 计算题分析： 把第一个分式的分母先进行因式分解，再算乘法化简，再算加法即可解答：解：原式= 点评： 此题要注意运算顺序：先算乘法，再算加法；也要注意 yx=（xy）的变
15、形7 （2011包头）化简 ，其结果是 考点： 分式的混合运算3415023分析： 运用平方差公式、平方公式分别将分式分解因式，将分式除法转换成乘法，再约分化简，通分合并同类项得出最简值解答：解：原式= （a+2）+= += 故答案为：点评： 本题主要考查分式的混合运算，其中涉及平方差公式、平方公式、约分、通分和合并同类项等知识点8 （2010昆明）化简： = 考点： 分式的混合运算3415023专题： 计算题分析： 先把括号里的式子通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分解答： 解：原式= = 点评： 本题主要考查分式的混合运算，注意运算顺序9 （2009成都）化简： = 考点： 分
16、式的混合运算3415023专题： 计算题分析： 把第二个分式的分子分母先因式分解，再把除法统一成乘法化简，最后算减法解答：解： =1 =1 = = 点评： 此题运算顺序：先除后减，用到了分解因式、约分、合并同类项等知识点10 （2008包头）化简： = 考点：分式的混合运算3415023专题：计算题分析：能因式分解的分子或分母要先因式分解，先算小括号里的，再算除法解答： 解：原式= = = ，故答案为 点评：此题主要考查分式的化简、约分对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的在此基础上，有时也应该根据具体问题的特活应变，
17、注意方法11 （2012攀枝花）若分式方程： 有增根，则 k= 1 考点： 分式方程的增根3415023专题： 计算题分析： 把 k 当作已知数求出 x= ，根据分式方程有增根得出 x2=0，2 x=0，求出 x=2，得出方程 =2，求出 k 的值即可解答： 解： ，去分母得：2（x2）+1 kx=1，整理得：（2k ）x=2，分式方程 有增根，x2=0，2x=0，解得：x=2，把 x=2 代入（2 k）x=2 得：k=1故答案为：1点评： 本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，把分式方程变成整式方程后，求出整式方程的解，若代入分式方程的分母恰好等于 0，则此数是分式方程的增根，即不是分式方程的根，题目比较典型，是一道比较好的题目12 （2012太原二模）方程 的解是 x=2 考点： 解分式方程3415023分析： 首先分时两边同时乘以 x3 去分母，再去括号、移项、合并同类项、把 x 的系数化为 1，可以算出 x 的值，然后要进行检验解答： 解： ，去分母得：1+2（x 3）=（x1） ，去括号得：1+2x 6=x+1，移项得：2x+x=11+6 ，合并同类项得：3x=6，把 x 的系数化为 1 得：x=2，检验：把 x=2 代入最简公分母 x30，则 x=2 是分式方程的解，故答案为：x=2
