1、1直线与圆的方程题型总结(2016 版)题型一：直线的倾斜角及斜率1倾斜角定义：把 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角记为 ， 就叫做直x l 线的倾斜角。当直线 与 轴重合或平行时，规定倾斜角为 0。l2倾斜角的范围 ,03.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.4斜率的定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 ，即：ktan ( 90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；k5斜率公式：经过两点 、 的直线的斜率为 ；1(,)Pxy2(,)xy21xxy
2、k6斜率的应用：证明三点共线： ABCk例 1.直线 的倾斜角 是( )03tanyxA. B. C. D. 6323例 2.直线 的倾斜角的范围是_.cosyx例 3.直线 经过 ， 两点 ，那么直线 的倾斜角的取值范围是( )l)1,2(A),(2mB)(RlA B. C. D.),0404,0,2(4,0例 4.直线 l 与两直线 y=1,xy7=0 分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点是(1，1)，则直线 l 的斜率是_.例 5.已知两条直线 ， ，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在 内变动时，;:1xl0:2al )12,0(的取值范围是_.a例 6.直线 y= 绕原点按逆
3、时针方向旋转 30后所得直线与圆 的位置关系是_.x3 32yx例 7.过已知经过 的直线的倾斜角为 ，且 ，则 的取值范围_.)12,(),mBAoo154m例 8.点 的直线的倾斜角的范围 ,那么 m 值的范围是_.QP,01,3( 32例 9.两条直线斜率相等是这两条直线平行的_条件.2例 10.曲线 与直线 有两个公共点时，实数 k 的取值范围是_.)2,(412xy 42xky例11.实数 满足 ，则 的最大值、最小值分别为_.x, 31053y例 12.在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 如果 是 围成ABC， ， 6,10()Pxy， ABC的区域（含边界）上的点，则 的取值范
4、围是 .1x例13.若 三点共线 则 的值为_.(2,3)(,)(,)2ABm例 14.若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为_. 0,4l12yl题型二：直线的方程直线方程的形式：名称 已知条件 方程 说明斜截式 斜率 k轴上的截距ybbkxy不包括垂直于 轴的直线x点斜式 点 P (x ,y )，斜率1k=k（ ）11不包括垂直于 轴的直线x两点式 ,(1yx)2 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式 轴上的截距 ax轴上的截距 by1byax不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax+By+C=0 A、B 不同时为 0设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵
5、截距 ，常设其方程为 ；bykxb2知直线过点 ，当斜率 存在时，常设其方程为 ，当斜率 不存在时，则其0(,)xy 0()ykxyk方程为 ；3与直线 平行的直线可表示为 ；:lAxByC1AxByC4与直线 垂直的直线可表示为 .00注：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。21213例 15.已知 l 过点 (5,4)A，且它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5，则 l 为_.例 16.过点 的直线分别交 轴、 轴的负半轴于 两点，当 最小时，直线 的方2,1PxyBA, |PBl程是_.例 17.直线的倾斜角为 ，满足 ，并且在 轴上的截距为 1
6、，则直线方程为_.cos3sin2y例 18.直线 经过 P（2，3） ，且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 .l例 19.已知直线 过点 P（-2，1） ，倾斜角与直线 的倾斜角互补，则直线 的方程是 .例32xy l20.过点 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 .例 21.已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原点，则三角形l)1,2(xyBA、 O面积的最小值为_.OAB例 22.已知 ，则直线 不经过（ ）0a)1(log)(:aalA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限例 23.直线 ，不管 m 怎样变化恒过点_.04312ymx例 24
7、. ，直线 过定点_.Rm12)( x例 25.函数 1（ ）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 上，其logya,a 01nymx中 ，则 的最小值为 .0nn21l1bxky2l2 x+ y+ =01lA1BC x+ y+ =022与 组成的方程组1l2平行 且21k21b或 0121CAB无解重合 且21k21 有无数多解相交 21 有唯一解)(2221A21B4题型三：直线与直线的位置关系例 26.设 a R,则“a=1”是“直线 l1: 与直线 l2: 平行”的_条件.02yax041yax例 27.“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的 条21m3)2(m3)()(m件. 例 28
8、.已知直线 的方程为 ，则与 平行，且过点（1，3）的直线方程是_. 014yx例 29.已知 三边的方程为： ， ，ABC:260ABxy:230ACxy；:340xym（1）判断三角形的形状；（2）当 边上的高为 1 时，求 的值。B例 30.设 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 与cba, 0sincayxA的位置关系是_.0sinsiyx真题：【2015 高考陕西，理 15】设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点 处的切线垂直，xye1(0)yx则 的坐标为 【2014 辽宁理 】已知定义在 上的函数 满足： ；对所有 ，且0,1()fx(0)f ,01y，有 .
9、若对所有 ， ，则 k 的最小值为（ xy|()|2fxyx,1y|()|fx）A B C D12418【2013 新标 2 理】已知点 A(1,0) ，B (1,0)，C (0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )A(0,1) B. C. D.(1 22，12) (1 22，13) 13，12)【2012 江西理 】在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则22|PBC=垂直 121k021BA5【2013 四川文 】在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7 ，
10、1)的距离之和最小的点的坐标是_【2014 四川】设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点mR0xmy30mxy，则 的最大值是 _， 的取值范围是_,(,)Pxy|APB |PAB【2013 辽宁】 已知点 O(0,0)，A(0 ，b)，B(a，a 3)若OAB 为直角三角形，则必有( )Aba 3 Bba 3 C(ba 3) 0 D| ba 3| 01a (b a3 1a) |b a3 1a|题型四：点与直线及平行线间的距离问题点到直线的距离及两平行直线间的距离：1.点 到直线 的距离 ；0(,)Pxy0AxByC02AxByCd2.两平行线 间的距离为112:,:llxy12d
11、AB例 31.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是 例 32.已知 P 点在直线 3x+y-5=0 上,且点 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 1,则 P 点坐标为 例 33.若点 P(a,3)到直线 4x3y10 的距离为 4，且 P 在不等式 2xy30 表示的平面区域内，则 a的值_例 34.过点 P(1,2)作直线 l，使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4，5)距离相等，则直线 l 的方程为_例 35.已知直线 及点0)()2(: bayxbal )4,3(P（1）证明直线 过某定点，并求该定点的坐标（2）当点 到直线 的距离最大时，求直线 的
12、方程Pl l6题型五：对称（中心对称和轴对称）问题代入法：1.点 关于 轴的对称点的坐标为 ；关于 轴的对称点的坐标为 ； ,Pabx y关于 的对称点的坐标为 ；关于 的对称点的坐标为 .yx2.点 关于直线 的对称点的坐标的求法：, 0abc（1）设所求的对称点 的坐标为 ，则 的中点 一定在直线P0,xyP0,2axby上.0axbyc（2）直线 与直线 的斜率互为负倒数，即 0axbyc01ybax3.直线 关于直线 的对称直线方程的求法：110axbyc 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； 轨迹法(相关点法)； 待定系
13、数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，4.点 关于定点 的对称点为 ，曲线 ： 关于定点 的对称曲,xy,ab2,axbyC,0fxy,ab线方程为 .20fxy5.直线系方程： 与直线 平行的直线系方程为 （ ）ABC 10AxByC1 与直线 垂直的直线系方程为0xym 过直线 和 的交点的直线系的方程为：11labc： 22laxbyc：（不含 ）20xyxyl例 36.点 关于直线 的对称点为_.点 关于直线 的对称点为),(A )4,3(A32xy_例 37.直线 关于直线 对称的直线 的方程为_01:1yxl 03:2yxl l例 38.点 关于点 的对称点坐标是
14、_),3(P),(M7例 39.直线 关于点 对称的直线方程_43xy)1,(M例 40.直线 关于直线 对称的直线方程为_020yx例 41.一条光线从点 射到直线 后，再反射到一点 ，这条光线从 A 到 B 的长)5,3(A43:l )15,2(B度为_例 42.直线 与 的夹角平分线为 ，若 的方程为 ，那么 的方程是1l2xy1l )0(abcyax2l_.例 43.已知 、 ，从点 射出的光线经直线 反向后再射到直线 上，最后经直线(4,0)A(,4)B(2,0)PABOB反射后又回到 点，则光线所经过的路程是_.OBP例 44.已知 ABC 顶点 A(3，)，AB 边上的中线所在直
15、线的方程为 6x+10y59=0，B 的平分线所在的方程为 x4y+10=0，则 BC 边所在的直线方程为_.例 45.已知点 ，在直线 上求一点 P，使 最小.)15,2(),3(BA043:yxl BA例 46.直线 2xy4=0 上有一点 ，它与两定点 A（4,1） 、B（3,4）的距离之差最大，则 P 的坐标是_.p真题：【2015 高考山东，理 9】一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，2,3y2231xy则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A） 或 （B ） 或 （C） 或 （D ） 或53 5443【2013 湖南文 】在等腰三角形 A中， =B， 点 P是边 AB上异于 ,
16、的一点，光线从点 P出发，经 ,C发射后又回到原点 P（如图）.若光线 QR经过 的中心，则 A等于（ ）A 2 B 1 C 83 D 43 题型六：圆的标准方程及一般方程1.圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 新 疆学 案王 新 敞2. 圆的标准方程 ： 圆心为 ，半径为 ，22)()(rbyax),(baCr8若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是 新 疆学 案王 新 敞0ba 22ryx3圆的一般方程：只有当 时， 表示的曲线才是圆，把形如的42FED02FED方程称为圆的一般方程 新 疆学 案王 新 敞当 时，表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆；042FED
17、242124圆的参数方程：（1）圆心为原点半径为 r 的圆的参数方程 为参数 新 疆学 案王 新 敞sincoryx例 47.设方程 0916423422 myxmyx（1）当且仅当 m 在什么范围内，该方程表示一个圆。（2）当 m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。（3）求圆心的轨迹方程例 48.求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点 )4,2(P与圆的关系例 49.已知圆 和点 ，点 P 在圆上，求 面积的最小值1:yxC),1(,BAAB例 50.求经过点 )5,0(，且与直线 yx和 2yx都相切的圆的方程例 51.如果直线 将圆：x
18、2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 的斜率的取值范围是 .例 52.动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，那么点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D.32yx162y16)(yx 16)(22yx真题：【2015 高考北京，文 2】圆心为 ,且过原点的圆的方程是（ ）A 2211xy B 2211xyC D 【2015 高考新课标 2，理 7】过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 ( )(1,3)A(4,2)(1,7)C|NA2 B8 C4 D1066【2014 山东文 】圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得
19、弦的长为 ，0xyyCx239则圆 的标准方程为 C题型七：点与圆、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：给定点 ),(0yxM及圆 22)()(:rbyaxC. M在圆 C内 220)(rba 在圆 上 0)(yx 在圆 外 220)(rba直线与圆的位置关系：直线 和圆 有相交、相离、相切。可从代数和几何两:lAxByC22： xyr0个方面判断：（1）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 ，则 相交；dr相离； 相切。drdr（2）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交； 相离；00相切；01.切线方程、切点弦方程例 53.已知圆 42y
20、xO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线例 54.过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、 ，则直线12)3,(MMABAB的方程为 .AB例 55.过圆 外一点 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为（ ）4:2yx)1,(A. B. 0404yxC. D.yx真题：【2013 山东理】过点（3，1）作圆 的两条切线，切点分别为 A，B ，则直线 AB 的方程12yx为 （A）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0 【2014 福建理】设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离QP,262yx102yxQP,10
21、是（A） B. C. D.25246276【2015 高考广东，理 5】平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ）01yx52yxA 或 B. 或 0yx500yxC. 或 D. 或22yx2yx2【2015 江苏高考，10】在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线O),1(相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 )(01Rmymx【2014 湖南文】若圆 与圆 外切，则 （ ）21:Cxy2:680Cxym.2A.9B.D【2013 陕西文】已知点 M(a,b)在圆 外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是（ ）21:Oxy(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定【2012 江西文】过直线 x+y- =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，若两条切线的夹角是 60，则点 P的坐标是_2.弦长、弧长问题例 56.直线 被圆 截得的弦 的长为 .063:yxl 042:2yxCAB例 57.直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 .2yx例 58.若直线 与圆 切于点 ，则 的值 .byax122,1pab例 59.已知圆 , 是 轴上的动点, 、 分别切圆 于 两点1)(:22MQAQBMBA,(1)若点 的坐标为（1，0） ，求切线 、 的方程QAB(2)求四边形 的面积的最小值AB(3)若 ，求直线 的方程324Q
