1、- 1 -三角形专题训练【知识精读】1. 三角形的内角和定理与外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例 1. 如图 1，已知 中， 于 D，E 是 AD 上一点。ABCABC90，求证： EDBC图 12. 三角形三边关系的应用例 2. 已知：如图 2，在 中， ，AM 是 BC 边的中线。ABC求证： M1- 2 -CAMBD图 23. 角平分线定理的应用例 3. 如图 3， BC 90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC
2、。求证：AM 平分 DAB。 DABMGC图 34. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例 4. 已知如图 4，ABC 是边长为 1 的等边三角形，BDC 是顶角（BDC）为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60的角，它的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于- 3 -N，连结 MN。求证： 的周长等于 2。AMNDMCNAB图 4（2）“ 全等三角形”在综合题中的应用例 5. 如图 5，已知：点 C 是FAE 的平分线 AC 上一点，CEAE，CFAF，E 、F 为垂足。点 B 在 AE 的延长线上，点 D 在 AF 上。若 AB21，AD 9 ，BCDC10。求 AC的长
3、。- 4 -CFDAEB图 55、中考点拨例 6. 如图，在 中，已知 B 和C 的平分线相交于点 F，过点 F 作 DEBC，交ABCAB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BDCE 9，则线段 DE 的长为（ ）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 ABCEDF6、题型展示例 7. 已知：如图 6， 中，ABAC，ACB90，D 是 AC 上一点，AE 垂直 BDABC- 5 -的延长线于 E， 。ABD12求证：BD 平分ABC ABFCED图 6例 8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图 7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件 PBAB 的一棵树 P，现要在花
4、坛内装一喷水管 D，点 D 的位置必须满足条件 ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树 P 均能得到水管 D 的喷水，问BPD 为多少度时，才能达到上述要求？- 6 -CBPAD图 7【实战模拟】1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm，则这个等腰三角形底边的长为_。2. 在锐角 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC ，则ABC_。ABC3. 如图所示，D 是 的ACB 的外角平分线与 BA 的延长线的交点。试比较BAC与B 的大小关系。 DACE124. 如图所示，AB AC ，BAC90 ，M 是 AC 中点，AEBM。求证：AMB
5、CMD- 7 -BDCAEM5. 设三个正数 a、b、c 满足 ，求证：a 、b、c 一定abcabc2244是某个三角形三边的长。- 8 -【试题答案】1. 5cm2. 453. 分析： 如图所示，BAC 是 的外角，所以ACDBAC1因为12，所以BAC2又因为2 是 的外角，所以2B，问题得证。B答：BACBCD 平分ACE，1 2BAC 1，BAC 22B，BAC B4. 证明一：过点 C 作 CFAC 交 AD 的延长线于 FAMECBDF4312 1290BAEBAE又BACACF90- 9 -ACABABMCFAB， 又 AMMC，MCCF又3445，CD CDCDMF AB证明二：过点 A 作 AN 平分BAC 交 BM 于 NMCBD1EN23 2390BAE又 AN 平分 BAC 145C又 ABAC- 10 -ABNCDMCBD1EN23又 NAMC45AMCMDAB 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。5. 证明： 由已知得：abcabcabc44222442即 0abcabcab4222422 4
