2018年高考全国卷1理科数学试题及答案.doc

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设 ,则i2z|zA B C D012122已知集合 ,则20xARA B 1xC D |2xx|1|2x3某地区经过一年的新农村建设,农村的经

2、济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后,种植收入减少B新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C新农村建设后,养殖收入增加了一倍D新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4设 为等差数列 的前 项和,若 , ,则nSna324S1a5A B C D12100125设函数 ,若 为奇函数,则曲线 在点 处的切线方程为32()()fxx()fx()yfx0,)A B C Dyy2yx6在 中, 为 边上的

3、中线, 为 的中点,则BC DEADEBA B C D314134314A134ABC7某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ,圆柱M表面上的点 在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 的路径中,最短路径的长度N N为A B C3 D2172528设抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,过点(2,0)且斜率为 的直线与 C 交于 M,N 两点,则2FN=A5 B6 C7 D89已知函数 若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是e0()lnxf, , , ()gxfaA1,0) B0,+) C1,+) D1 ,+)10下图来自

4、古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC ABC 的三边所围成的区域记为 I,黑色部分记为 II,其余部分记为 III在整个图形中随机取一点,此点取自 I,II,I II 的概率分别记为 p1,p 2,p 3,则Ap 1=p2 Bp 1=p3Cp 2=p3 Dp 1=p2+p311已知双曲线 C: ,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点21xy分别为 M、 N.若 OMN 为直角三角形,则| MN|=A B3 C D432 2312已知正方体的棱长为 1,每条棱所

5、在直线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D342332432二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13若 , 满足约束条件 ,则 的最大值为_xy201xy32zxy14记 为数列 的前 项和,若 ,则 _nSna2nSa6S15从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有_种 (用数字填写答案)16已知函数 ,则 的最小值是_2sinfxxf三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考

6、生根据要求作答。(一)必考题:60 分。17 (12 分)在平面四边形 中, , , , .ABCD9045A2B5D(1)求 ;cos( 2) 若 , 求 .218 (12 分)如图,四边形 为正方形, 分别为 的中点,以 为折痕把 折起,使点ABCD,EF,ADBCFDC到达点 的位置,且 .P(1)证明:平面 平面 ;(2)求 与平面 所成角的正弦值.19 (12 分)设椭圆 的右焦点为 ,过 的直线 与 交于 两点,点 的坐标为 .2:1xCyFlC,ABM(2,0)(1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;l AM(2)设 为坐标原点,证明: .OO20 (12 分)某工厂的某种产品成

7、箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且各件产品是否为不合格)10(p品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 )(pff0(2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 作为 的值已知每p件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验

8、费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;XE(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?21 (12 分)已知函数 1()lnfxax(1)讨论 的单调性;(2)若 存在两个极值点 ,证明: ()fx12,x12fxfa(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22选修 44:坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系 中,曲线 的方程为 .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐xOy1C|2ykxx标系,曲线 的极坐标方程为 .22cos30(1)求 的直角坐标方程;C(2)若 与 有且仅有三个公

9、共点,求 的方程.12 1C23选修 45:不等式选讲(10 分)已知 .()|1|fxax(1)当 时,求不等式 的解集;()f(2)若 时不等式 成立,求 的取值范围.(0,)xxa2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A13.6 14. 15.16 16.6217.(12 分)解:(1)在 中,由正弦定理得 .ABD siniBADB由题设知, ,所以 .52sin4i 25由题设知, ,所以 .90AB3cos1A(2)由题设及(1)知, .2in5DCB在 中,由余弦定

10、理得BCD 22cosB585.2所以 .BC18.(12 分)解:(1)由已知可得,BFPF,BF EF,所以 BF平面 PEF.又 平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.BF(2)作 PHEF ,垂足为 H.由(1)得,PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向, 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系|BFHxyz.由(1)可得,DEPE .又 DP=2,DE=1,所以 PE= .又 PF=1,EF=2,故 PEPF.3可得 .3,2PHE则 为平面 ABFD 的法向量.33(0,)(,),(1,0)(1,),22DP3(0,)2HP设 DP 与平面 AB

11、FD 所成角为 ,则 .4sin|3D所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .3419.(12 分)解:(1)由已知得 ,l 的方程为 x=1.(1,0)F由已知可得,点 A 的坐标为 或 .2,(1,)所以 AM 的方程为 或 .yx2yx(2)当 l 与 x 轴重合时, .0OMAB当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以 .OMAB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 , ,(1)0ykx12(,)(,)yx则 ,直线 MA,MB 的斜率之和为 .12,x 21MABxyk由 得12,ykxyk.1212(3)4MABxxkk将 代入 得(

12、1)ykx21y.22()40kxk所以, .212124,xxk则 .31 3122241843() 0kkk 从而 ,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以 .0MABOMAB综上, .O20.(12 分)解:(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此2180()C()fpp.218172170 0()C()()fppp令 ,得 .当 时, ;当 时, .0,.()f(,)()0f所以 的最大值点为 .()f 1(2)由(1)知, .p(i)令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 ,Y (180,.)YB:,即 .05X4025XY所以 .(42)9EE(ii)

13、如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 ,故应该对余下的产品作检验.0X21.(12 分)解:(1) 的定义域为 , .()fx(0,)2211(axfx(i)若 ,则 ,当且仅当 , 时 ,所以 在 单调递减.2a)fa()0f()fx0,)(ii)若 ,令 得, 或 .(0fx2424ax当 时, ;224(0,)(,)aaxU()0f当 时, .所以 在 单22(,)()fx()fx2244,),(,)aa调递减,在 单调递增.224(,)aa(2)由(1)知, 存在两个极值点当且仅当 .)fx2a由于 的两个极值点 满足 ,所以 ,不妨设 ,则 .由于(

14、)fx12,10x1x12x1,1212212 12lnlnlnaaax x 所以 等价于 .12()fxf22ln0x设函数 ,由(1)知, 在 单调递减,又 ,从而当()lngx()g,)(1)0g时, .1,x0所以 ,即 .22lnx12()fxfa22选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)【解析】 (1)由 , 得 的直角坐标方程为 cosxsiny2C2(1)4xy(2)由(1)知 是圆心为 ,半径为 的圆2C(1,0)A由题设知, 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 , 轴左边的射线1,Byy1ly为 由于 在圆 的外面,故 与 有且仅有三个公共点等价于 与

15、只有一个公共点且 与2l212C1l2C2l有两个公共点,或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 2C2lC1l2C当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 1l2A1l 2|1k43k0经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 只有一个公共点, 与 有两个公0k1l2C43k1l2C2lC共点当 与 只有一个公共点时, 到 所在直线的距离为 ,所以 ,故 或 2lCA2l22|1k0k43经检验,当 时, 与 没有公共点;当 时, 与 没有公共点0k1l2C43k2lC综上,所求 的方程为 14|3yx23选修 4-5:不等式选讲(10 分)【解析】 (1)当 时, ,即a()|1|fxx2,1,(),.xf故不等式 的解集为 ()fx|2(2)当 时 成立等价于当 时 成立0,1|1|ax(0,1)x|1ax若 ,则当 时 ;a(,)x|若 , 的解集为 ,所以 ,故 0|1|20xa102a综上, 的取值范围为 a(,

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