1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设 ，则i2z|zA B C D012122已知集合 ，则20xARA B 1xC D |2xx|1|2x3某地区经过一年的新农村建设，农村的经
2、济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则nSna324S1a5A B C D12100125设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为32()()fxx()fx()yfx0,)A B C Dyy2yx6在 中， 为 边上的
3、中线， 为 的中点，则BC DEADEBA B C D314134314A134ABC7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱M表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度N N为A B C3 D2172528设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M，N 两点，则2FN=A5 B6 C7 D89已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是e0()lnxf， ， ， ()gxfaA1，0） B0，+） C1，+） D1 ，+）10下图来自
4、古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自 I，II，I II 的概率分别记为 p1，p 2，p 3，则Ap 1=p2 Bp 1=p3Cp 2=p3 Dp 1=p2+p311已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点21xy分别为 M、 N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|=A B3 C D432 2312已知正方体的棱长为 1，每条棱所
5、在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D342332432二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_xy201xy32zxy14记 为数列 的前 项和，若 ，则 _nSna2nSa6S15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）16已知函数 ，则 的最小值是_2sinfxxf三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考
6、生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （12 分）在平面四边形 中， ， ， ， .ABCD9045A2B5D（1）求 ；cos（ 2） 若 ， 求 .218 （12 分）如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点ABCD,EF,ADBCFDC到达点 的位置，且 .P（1）证明：平面 平面 ；（2）求 与平面 所成角的正弦值.19 （12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .2:1xCyFlC,ABM(2,0)（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；l AM（2）设 为坐标原点，证明： .OO20 （12 分）某工厂的某种产品成
7、箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格)10(p品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ,求 的最大值点 )(pff0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值已知每p件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验
8、费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;XE（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 （12 分）已知函数 1()lnfxax（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： ()fx12,x12fxfa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐xOy1C|2ykxx标系，曲线 的极坐标方程为 .22cos30（1）求 的直角坐标方程；C（2）若 与 有且仅有三个公
9、共点，求 的方程.12 1C23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 .()|1|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；()f（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.(0,)xxa2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A13.6 14. 15.16 16.6217.（12 分）解：（1）在 中，由正弦定理得 .ABD siniBADB由题设知， ，所以 .52sin4i 25由题设知， ，所以 .90AB3cos1A（2）由题设及（1）知， .2in5DCB在 中，由余弦定
10、理得BCD 22cosB585.2所以 .BC18.（12 分）解：（1）由已知可得，BFPF，BF EF，所以 BF平面 PEF.又 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.BF（2）作 PHEF ，垂足为 H.由（1）得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系|BFHxyz.由（1）可得，DEPE .又 DP=2，DE=1，所以 PE= .又 PF=1，EF=2，故 PEPF.3可得 .3,2PHE则 为平面 ABFD 的法向量.33(0,)(,),(1,0)(1,),22DP3(0,)2HP设 DP 与平面 AB
11、FD 所成角为 ，则 .4sin|3D所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .3419.（12 分）解：（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1.(1,0)F由已知可得，点 A 的坐标为 或 .2,(1,)所以 AM 的方程为 或 .yx2yx（2）当 l 与 x 轴重合时， .0OMAB当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 .OMAB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ，(1)0ykx12(,)(,)yx则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 .12,x 21MABxyk由 得12,ykxyk.1212(3)4MABxxkk将 代入 得(
12、1)ykx21y.22()40kxk所以， .212124,xxk则 .31 3122241843() 0kkk 从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 .0MABOMAB综上， .O20.（12 分）解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .因此2180()C()fpp.218172170 0()C()()fppp令 ，得 .当 时， ；当 时， .0,.()f(,)()0f所以 的最大值点为 .()f 1（2）由（1）知， .p（i）令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ，Y (180,.)YB:，即 .05X4025XY所以 .(42)9EE（ii）
13、如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 ，故应该对余下的产品作检验.0X21.（12 分）解:（1） 的定义域为 ， .()fx(0,)2211(axfx（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.2a)fa()0f()fx0,)（ii）若 ，令 得， 或 .(0fx2424ax当 时， ；224(0,)(,)aaxU()0f当 时， .所以 在 单22(,)()fx()fx2244,),(,)aa调递减，在 单调递增.224(,)aa（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .)fx2a由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于(
14、)fx12,10x1x12x1，1212212 12lnlnlnaaax x 所以 等价于 .12()fxf22ln0x设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当()lngx()g,)(1)0g时， .1,x0所以 ，即 .22lnx12()fxfa22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】 （1）由 ， 得 的直角坐标方程为 cosxsiny2C2(1)4xy（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆2C(1,0)A由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线1,Byy1ly为 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与
15、只有一个公共点且 与2l212C1l2C2l有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 2C2lC1l2C当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 1l2A1l 2|1k43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公0k1l2C43k1l2C2lC共点当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 2lCA2l22|1k0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点0k1l2C43k2lC综上，所求 的方程为 14|3yx23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】 （1）当 时， ，即a()|1|fxx2,1,(),.xf故不等式 的解集为 ()fx|2（2）当 时 成立等价于当 时 成立0,1|1|ax(0,1)x|1ax若 ，则当 时 ；a(,)x|若 ， 的解集为 ，所以 ，故 0|1|20xa102a综上， 的取值范围为 a(,
