1、- 1 -2018 高考复习专题复数 2【三年高考】1. 【2017 江苏】复数 (12i)3,z其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 .【答案】5【解析】试题分析： (12i)35iz故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()(),abcdabdcabdR+i,，其次要熟悉复数的相关概念，如复数 ,R的实部为 ，虚部为 ，模为 2，共轭为 iab2.【2017 课标 1，理 3】设有下面四个命题1p：若复数 z满足 ，则 z； 2p：若复数 z满足 2，则 zR；3：若复数
2、 12,满足 12，则 1； 4：若复数 ，则 .其中的真命题为A. 13,pB 14,pC 23,pD 24,p【答案】B【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分 式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)zabiR的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.- 2 -3.【2017 课标 II，理 1】 31i（ ）A 12i B 2i C 2i D 2i【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有： 3+12ii，故选 D。【考点】 复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意
3、利用共轭复数的性质：若 z1， z2互为共轭复数，则z1z2| z1|2| z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。4.【2017 山东，理 2】已知 aR,i 是虚数单位，若 3,4zaiz，则 a=（A）1 或-1 （B） 7-或 （C）- （D）【答案】A【解析】试题分析：由 3,4zaiz得 23a，所以 1a，故选 A.【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.【名师点睛】复数 i(,)bR的共轭复数是 i(,)bR，据此结合已知条件，求得a的方程即可.5. 【2017 北京，理 2】若复数 1ia在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（A）（，1）
4、 （B）（，1）（C）（1，+） （D）（1，+）【答案】B【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数- 3 -z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 OZ.6. 【2017 天津，理 9】已知 ，i 为虚数单位，若 i2为实数，则 a 的值为 .【答案】 2 【解析】 ()(21)(155aiiaiai 为实数，则 20,5.【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置 问题都可以转
5、化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数 (,)zabiR，当 0时， 为虚数，当 时， 为实数，当 ,ab时， z为纯虚数.7.【2017 浙江，12】已知 a， b R， 2i34i（ ） （i 是虚数单位）则 2ab ， ab= 【答案】5，2【考点】复数的基本运算和复数的概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()(),(.)abicdabdciabdR 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 ,R的实部为 、虚部为 、模为 2b、对应
6、点为 (,)ab、共轭为.i8 【2016 新课标理改编】设 (1)=+,xiy其中 x, 实数,则 i=xy .- 4 -【答案】 2【解析】试题分析：因为 (1)=+,xiy所以 =1+,1,|=+|2xiyxxyi考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是 2i1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.9.【2016 高考新课标 3 理数改编】若 i1z，则 4iz .【答案】 i【解析】试题分析
7、： 4i4ii(12)1z考点：1、复数的运算；2、共轭复数【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把 2i换成1.复数除法可类比实数运算的分母有理化复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解10.【2016 高考新课标 2 理数】已知 (3)(1izm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m的取值范围是 【答案】 (31)，【解析】试题分析：要使复数 z对应的点在第四象限应满足： m301，解得 3m1考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为
8、复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR)- 5 -复数 z a bi(a， bR) 平面向量OZ.11.【2016 年高考北京理数】设 a，若复数 (1)ia在复平面内对应的点位于实轴上，则 _.【答案】 1.【解析】试题分析： ()1()1iaaiRa，故填： .考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化12.【2016
9、 高考山东理数改编】若复数 z 满足 23i,z 其中 i 为虚数单位，则 z= 【答案】 12i【解析】试题分析：设 biaz，则 ibiaz232，故 2,1ba，则 iz1，选B.考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.13.【2016 高考天津理数】已知 ,abR， i 是虚数单位，若 (1)iba，则 的值为_.【答案】2【解析】试题分析： (1)1()ibbia，则 10ba，所以 21b， a，故答案为 2考点：复数
10、相等- 6 -【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常 规思路，如()()(),(.)，abicdabdciabdR2,.，cii. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abR的实部为 a、虚部为 b、模为 2ab、共轭为 .abi14 【2015 高考新课标 2，理 2 改编】若 为实数且 ()4i，则 【答案】0【解析】由已知得 24()4ai，所以 20,4a，解得 0a15.【2015 高考湖北，理 1 改编】 为虚数单位， 67i的共轭复数为 【答案】 i【解析】 i3154607,所以 607i的共轭复数为
11、 i 【2018 年高考命题预测】纵观 2017 各地高考试题，对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势.复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的
12、重点内容，以选择或填空题为主.故预测 2018 年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数相等的应用是最可能出现的命题角度！复习建议：1复习时要理解复数的相关概念如实部 、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义2要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等因考题较容易，所以重在练基础 - 7 -【2018 年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几 何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运
13、算，一般是选择题、填空题，难度不大【考点 1】复数的有关概念【备考知识梳理】 1.i称为虚数单位,规定 21i；2.形如 abi( ,R)的数叫复数，其中 ,ab分别是它的实部和虚部若 0b，则为实数；若 0，则 ai为虚数；若 0且 ，则 ai为纯虚数3.共轭复数：复数 i称为复数 zi的共轭复数，记为 z，那么 与 z对应复平面上的点关于实轴对称，且 2z， b， 22zb， Rabi与 cdi共轭 ,acbd( ,a， cR)【规律方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出
14、实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为 abi( ,R)的形式，以确定实部和虚部2.复数是实数的条件： 0(,)zabiRR； zz；20zR.3.复数是纯虚数的条件: zi是纯虚数 a且 0(,)baR； z是纯虚数()z； 是纯虚数 20.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小【考点针对训练】1.设 i为虚数单位，若复数 282izm是纯虚数，则实数 m 【答案】4【解析】由题意可得 20且 ，所以 4m- 8 -2.若复数 ()1zxi是纯虚数，其中 x为实数， i为虚数单位，则 z的共轭复数 z
15、【答案】 2i【考点 2】复数相等，复数的几何意义【备考知识梳理】1.复数的相等设复数 112212,(,)zabizabiaR，那么 12z的充要条件是： 12ab且 特别 0.2.复数的模：向量 OZ的模 r叫做复数 zi ( ,)的模，记作 z或 abi，即2zi.3.复平面：建立直角坐标 系来表示复数的平面，叫做复平面 x轴叫做实轴， y轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.复数的几何表示：复数 zabi ( ,R)可用平面直角坐标系内点 ,Zab来表示这时称此平面为复平面，这样，全体复数集 C与复平面上全体点集是一一对应的
16、复数的几何意义（1）复数 zabi复平面内的点 ,Zab( R).（2）复数 ( ,R) ,O.4.复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹：（1） 0(r是正常数） 轨迹是一个圆.（2） 121zz、 是复常数） 轨迹是一条直线.（3） 2(az、 是复常数， a是正常数） 轨迹有三种可能情形：a)当21za时，轨迹为椭圆；b)当 21z时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.- 9 -（4） 12(zza是正常数） 轨迹有三种可能情形：a)当 21za时，轨迹为双曲线；b)当 21z时，轨迹为两条射线；c)当 21z时，轨迹不存在.【规律方法技巧】1. 对复数几何意义的理解及应用(1)复
17、数 z、复平面上的点 z及向量 OZ相互联系，即 zabi ( ,R) ,Zab OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式” 3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理由于复数 zabi ( ,R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数 z与点 ,Zab相对应.【考点针对训练】1.若 ii)2(，其中 iR,是虚数单位，则 ba 。【答案】1【解析】因为 ibia)(，所
18、以 iai2，所以 2,1，所以 1ba2.已知 i是虚数单位，复数 z满足1i，则复数 z所对应的点位于复平面的第 象限【答案】一【解析】根据题意可知 1zi，所以 1zi，故复数 z所对应的点的坐标为 (1,)，所以在第一象限【考点 3】复数的运算【备考知识梳理】1. 复数 的加、减、乘、除运算法则设 1zabi, 2(,)zcdiabR,则加法： )icbdi；减法： 12()zi；乘法： )abcdai；- 10 -除法： 1 2222 (0)zabicdbaiz2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 123,zC，有 121zz，123123zz.3. 复数的乘法
19、不仅满足交换律与结合律，实数集 R 中整数指数幂的运算律，在复数集 C 中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有： ， ， ；4.复数集内的三角形不等式是： 212121 zzz，其中左边在复数 12,z对应的向量共线且反向（同向 ）时取等号，右边在复数 ,对应的向量共线且同向（反向）时取等号.【规律方法技巧】1. 几个重要的结论： 222111|(|)zzz； 2|zz；若 为虚数,则 2|z.2. 常用计算结论： 2()ii； 1i, i； 1230()nniiN； |1zz； 32i， 2i， 31，20.3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把 i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉 的特点及熟练应用运算技巧 ，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i的幂写成最简形式4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式 ,zabiR，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题.5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四则运算 和开方均通行无阻
