1、理科数学试题 第 1 页（共 9 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设 ，则i2z|zA B C D012122已知集合 ，则2|0xARA B|1|x C D|U1|2x 3
2、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半理科数学试题 第 2 页（共 9 页）4记 为等差数列 的前 项和. 若 ， ，则nSna324S12a=5A B C D1210015设函数 . 若 为奇函数，则曲线 在点 处32()()fxx()fx()yfx(0,)的切线方程为A B
3、C D2yy2y6在 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则C EBurA B314ur 134ArC DB 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A B217 25C D38设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 C 交于 M，N24yx=：F(,0)-3两点，则 FNurA B C D56789已知函数 . 若 存在 2 个零点，则 的e,0,()lnxf ()gxfxa()gxa取值范围是A B
4、C D1,0),)1,)1,)10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC 的三边ABC所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为. 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 ， ， ，则1p23理科数学试题 第 3 页（共 9 页）A B C D12p13p23p123p11已知双曲线 ，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的23xCy：-=两条渐近线的交点分别为 M， N. 若 为直角三角形，则 |MN=A B C D2 23412已知正方体的棱长为 ，每
5、条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方1体所得截面面积的最大值为A B C D342332432二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 ， 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 .xy20,1,xy 32zxy14记 为数列 的前 n 项和. 若 ，则 .nSnanSa6S15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）16已知函数 ，则 的最小值是 .()2sinfxx()f三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试
6、题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）在平面四边形 中， ， ， ， .ABCD9045A2B5D（1）求 ；cos（2）若 ，求 .2理科数学试题 第 4 页（共 9 页）18 （12 分）如图，四边形 为正方形， ， 分ABCDEF别为 ， 的中点，以 为折痕把折起，使点 到达点 的位置，且DF P.P（1）证明：平面 平面 ；EFAB（2）求 与平面 所成角的正弦值 .D19 （12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，点21xCy： FlCAB的坐标为 .M(,0)（1）当 与 轴垂直时，求直
7、线 的方程；l AM（2）设 为坐标原点，证明： .OOB20 （12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立.(01)p（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 .()fp()f0p（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值 . 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品
8、进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.（）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 （12 分）已知函数 .1()lnfxax（1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： .()f 1212()fxfa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。理科数学试题 第 5 页（共 9 页）22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 . 以坐标原
9、点为极点， 轴正xOy1C|2ykxx半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2 cos30（1）求 的直角坐标方程；2C（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.1 123选修 45：不等式选讲 （10 分）已知 .()|1|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；()f（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围 .0,xa绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C 2B 3A 4B 5D 6A7B 8D 9C 10A 11B 12A二、填空题13 14 15 166631632三、解答题17解：（1）在 中，由正弦定理得 .ABD si
10、niBDAB由题设知， 所以 .52,sin4i 25由题设知， 所以 .90AB， 3cos1A（2）由题设及（1）知， . 2in5DCB在 中，由余弦定理得CD理科数学试题 第 6 页（共 9 页）22cos585.BCDBDC所以 .18解：（1）由已知可得， ， ，所以 平面 .BFPEFBPEF又 平面 ，所以平面 平面 .BFADAD（2）作 ，垂足为 . 由（1）得，PHEH平面 .以 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方Fur向， 为单位长，建立如图所示的空间直角|BFur坐标系 . Hxyz由（1）可得， . 又 ，DEP2D，所以 . 又 ， ，故 .DE31FEPF可得
11、， .2P则 ， , ， ， 为 平面(0,)H3(,0)3(1,0)2D3(1,)2ur 3(0,)2HPur的 法 向 量 . ABFD设 与平面 所成角为 ，则 .PABF34sin|DPru所以 与平面 所成角的正弦值为 .D3419解：（1）由已知得 ， 的方程为 .(1,0)Fl1x由已知可得，点 A 的坐标为 或 .2(,)(,)理科数学试题 第 7 页（共 9 页）所以 AM 的方程为 或 .2yx2yx（2）当 l 与 x 轴重合时， .0OMAB当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 .OMAB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ，
12、 ，(1)0ykx1(,)xy，则 ， ，直线 MA，MB 的斜率之和为2(,)By12x.12MAykx由 ， 得ykkx. 12123()4MABxkxk将 代入 得(1)ykx2y.22(1)40kxk所以， .1224,x则 .3321843() 0kkkk 从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以 .0MAB OMAB综上， . O20解：（1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 . 因此2180()C()fpp.2182172170 0()C()()fpp令 ，得 . 当 时， ；当 时， .0,.()f(,)()0fp所以 的最大值点为 .()f0（2）由（1）知，
13、. 1p（）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ，(180,.)YB:，即 .05X4025XY所以 .()490EE（）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于 ，故应该对余下的产品作检验 .理科数学试题 第 8 页（共 9 页）21解：（1） 的定义域为 ， .()fx(0,)2211(axfx（）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在2a fx ()0f()fx单调递减.(0,)（）若 ，令 得， 或 . ()0f24a24ax当 时， ；2244(0, ,)aaxU()0f当 时， . 所以 在 ，22,)(fx()fx240
14、,)a单调递减，在 单调递增.24(,)a2244(,)aa（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .)fx由于 的两个极值点 ， 满足 ，所以 ，不妨设 ，()fx12210x12x12x则 . 由于2，121212212()lnlnlnffaaaxxxxx所以 等价于 .12()ff22l0设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从()lngxx()gx,)(1)0g而当 时， .1,0所以 ，即 . 22lx12()ffax22解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为cosxsiny2C. 2(1)4x（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆.2C,0A由题设知， 是过点 且关于
15、 轴对称的两条射线. 记 轴右边的射线为 ，1(,)Byy1l轴左边的射线为 . 由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于y2l21C2与 只有一个公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与1l22l l 1l理科数学试题 第 9 页（共 9 页）有两个公共点.2C当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故1l2 A1l22|1k或 . 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有43k00k1l2C43l2C一个公共点， 与 有两个公共点.2lC当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故l A2l22|1k或 . 经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公0k430k1l2C43lC共点.综上，所求 的方程为 .1C4|3yx23解：（1）当 时， ，即a()|1|fxx2,1,(),.xfx故不等式 的解集为 .()f|2（2）当 时 成立等价于当 时 成立.0,1x|1|xax(0,1)x|1ax若 ，则当 时 ；a (,)|若 ， 的解集为 ，所以 ，故 .|x20xa 2综上， 的取值范围为 .a(,
