1、2018 高中自主招生必做试卷（数学）（满分 150 分 时间 120 分钟）一、选择题（每题 4 分，共 40 分）1、在|3| 3， (3) 3，(3) 3，3 3 中，最大的是 ( )A、|3| 3 B、 (3) 3 C、(3) 3 D、3 3 2、已知 ，则 的值等于 （ ab27ab）A、 B、 C、 D、15 663、如图，在 RtABC 内有边长分别为 ,abc的三个正方形，则 ,abc满足的关系式是 （ ）A、 bac B、 C、 22 D、 2c4、a、b 是有理数，如果 那么对于结论：(1)a 一定不是负数；(2)b 可能是负数，其中 ( ),baA、只有(1) 正确 B、
2、只有(2) 正确C、(1)，(2)都正确 D、(1)，(2)都不正确5、已知关于 x 的不等式组 的整数解有且仅有 4 个：-1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所203bxa有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )A、1 B、2 C、4 D、66、如图，表示阴影区域的不等式组为 ( )2x +.y 5， 2x + y 5， 2x +.y 5， 2x + y 5，A、 3x + 4y9， B、 3x + 4y9， C、 3x + 4y9， D、 3x + 4y 9，y0 x0 x0 y07、如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE 交于点 G，则 等于
3、 ABCDGS矩 形四 边 形( )A、 B、 C、 D、435432658、若 能被 整除则 a：b 的值是 （ bxax7222xA BCD E FG第 3 题图 第 9 题图第 7 题图第 6 题图学校 姓名 考号 装 订 线 外 请 不 要 答 题） A、-2 B、-12 C、6 D、49、在矩形 ABCD 中，AB 8，BC9，点 E、F 分别在 BC、AD 上，且 BE6，DF4，AE 、FC 相交于点 G，GHAD，交 AD 的延长线于点 H，则 GH 的长为 （ ）A、16 B、20 C、24 D、2810、若 a 与 b 为相异实数，且满足： ，则 （ 210abb）A、0.
4、6 B、0.7 C、0.8 D、0.9二、填空题（每题 5 分，共 20 分）11、已知 是方程 的两根，则 的值为 ,210x351012、在平面直角坐标系 中，满足不等式 的整数点坐标（ ）的个数为 Oy2xy,xy13、今年参加考试的人数比去年增加了 30%，其中男生增加了 20%，女生增加了 50%。设今年参加考试的总人数为 ，其中女生人数为 ，则 aba14、在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA ，PC5，则 PB 三、解答题（共 90 分）15、 （12 分）因式分解： 22443xy16、 （14 分）如图，抛物线 y=ax2-5ax+4（a0）经过A
5、BC 的三个顶点，已知 BCx 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使|MA-MB| 最大？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 BxAyOC17、 （15 分）如图所示，有一张长为 3、宽为 1 的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长与宽之比也都为 3:1，然后把它们剪下，这时，所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值求这个最大值18、 （15 分）如图，在以 O 为圆心的圆中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 H，弦
6、BE 与半径 OC 相交于点 F，且 OF=FC，弦 DE 与弦 AC 相交于点 G.（1）求证：AG=GC ；（2）若 AG= ，AH：AB=1：3，求CDG 的面积与BOF 的面积.19、 （16 分）已知直角三角形 ABC 和 ADC 有公共斜边 AC，M、N 分别是 AC，BD 中点，且 M、N 不重合（1）线段 MN 与 BD 是否垂直 ?请说明理由（2）若BAC = 30 ，CAD = 45，AC = 4，求 MN 的长 .20、 （18 分）已知实数 满足： 。,abc2,4abc（1）求 中最大者的最小值；,abc（2）求 的最小值。装 订 线 外 请 不 要 答 题参考答案一
7、、选择题（每题 4 分，共 40 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B D A A D B C A B C二、填空题（每题 5 分，共 20 分）11、 12、9 13、 14、2 51310三、解答题（本题 6 小题，共 90 分）15、 6 分22443xy22(41)(4)xy= （ -）12 分(+)()16、解：（1）令 x=0，则 y=4，点 C 的坐标为（0，4）， 1 分BCx 轴， 点 B，C 关于对称轴对称，又抛物线 y=ax2-5ax+4 的对称轴是直线 ，即直线52ax52x点 B 的坐标为（5，4）， AC=BC=5，在 RtACO 中，OA= ，23ACO
8、点 A 的坐标为 A（ ，0）， 3抛物线 y=ax2-5ax+4 经过点 A，9a+15a+4=0，解得 ， 16a抛物线的解析式是 6 分254x（2）存在， 7 分理由：B，C 关于对称轴对称，MB=MC， ；MABCA当点 M 在直线 AC 上时， 值最大， 9 分AMB设直线 AC 的解析式为 ，则 ，解得 ，ykxb304kb43kb 13 分43yx令 ，则 ，M（ ， ） 14 分5252317、要考虑的不同画线方案，可归纳为如下 4 类：（1）如图（1） ，其周长和= 3 分12()5.3（2）如图（2） ，其周长和= 6 分()8.xx（3）如图（3） ，其周长和= 9 分
9、8.（4）如图（4） ，其周长和= 3162(3)().x ，031x.x当 时，周长和有最大值 1479.分综上所述，剪得的两个小长方形周长之和的最大值为 1579.分18、 （1）证明：连接 AD，BC，BDAB 是直径，ABCD,BC=BD，CAB=DAB, DAG=2CAB,BOF=2CAB, BOF=DAG,又OBF=ADG, BOFDAG, ,OBDAFGOB=OC=2OF, ,2DAG又AC=DA， AC=2AG, AG=GC; 7 分（2）解：连接 BC，则BCA=90 ，又CHAB, ,2ACHB :1:3GA 21(3),AB=6，AH=2，CH= , SACD = 124
10、,2CDAH又AG=CG， S CDG = SDAG = SACD = 11 分,BOF DAG, 23(),4BOFDAGSS BOF = 15 分.19、 （1）证明：如图（1）当 B,D 在 AC 异侧时，连接 BM,DM901224MACADCBDN 为 中 点 ， =分为 等 腰 三 角 形又 为 中 点 分如图（2）当 B,D 在 AC 同侧时同理可证 6 分MNBD（2）如图三：连接 BM、MD，延长 DM，过 B 作 DM 延长线的垂线段 BE，则可知在 RtBEM 中， EMB=30，AC=4， BM=2 ，BE=1，EM= ，MD=2，3从而可知 BD= ，BN=12（ +
11、3） 23由 RtBMN 可得：MN= （不化简不扣分） 11 分2 622（ ）如图四：连接 BM、MD ，延长 AD，过 B 作垂线 BE，M、N 分别是 AC、BD 中点，MD= AC，MB= AC，112MD=MBBAC=30，CAD=45，BMC=60 ，DMC=90 ，BMD=30，BDM= 1803752MDA=45，EDB=180 BDM MDA=60令 ED= ，则 BE= ，AD= ，AB=x3x由 RtABE 可得： ，222()(3)()x解得 ，则 BD=23xM、N 分别是 AC、BD 中点MD=2，DN= 23由 Rt MND 可得：MN= （不化简不扣分） 16 分2262()20、解：（1）由题意不妨设 最大，即 且a,0.bac42,.bca 、 是方程 的两实根bc24()x 2()40a 2 （当 时， 满足题意） 94a1bc分（2） 全大于 ，或一正二负0bc,a0若 均大于 ，由（1）知， 最大者不小于 4，这与 矛盾，故此情况不存在,a,bc 2abc故 为一正二负，不妨设,bc0,a（当 时成立）(2)6abc4a所以 最小值为 6 18分15注 ： 本 题 也 可 以 用 7或 三 角 函 数 解 答 ， 答 案 对 就 给 分
