1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：如果事件 ， 互斥，那么 ；ABPABP如果事件 ， 相互独立，那么 ；柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面面积， 表示柱体的高；VShh锥体体积公式 ，其中 表示锥体的底面面积， 表示锥体的高13第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2017 年天津，理 1，5 分】设集合 ，则 （ ）1,26,4|15ABCxxR()ABC（A） （B） （C ） （D）2,246|xxR【答案】B【解析】 ，故选 B()1,246,51,2
2、4C（2） 【2017 年天津，理 2，5 分】设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ,xy20,3xyzxy）（A） （B）1 （C） （D）33 2【答案】D【解析】目标函数为四边形 及其内部，其中 ，所以直线 过点 BACD34(0,1),(,)(,)ABzxy时取最大值 3，故选 D （3） 【2017 年天津，理 3，5 分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为N24，则输出 的值为（ ）N（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】依次为 ， ，输出 ，故选 C87,6N（4） 【2017 年天津，理 4，5 分】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）R
3、|121sin2（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ， ， ，不满足 ，所以0sin12620sin212是充分不必要条件，故选 A（5） 【2017 年天津，理 5，5 分】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 若经过21(,0)xyabF2和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）F(0,4)P（A） （B） （ C） （D）21xy282148xy184xy2【答案】B【解析】由题意得 ，故选 B24,14, 18xyabcab（6） 【2017 年天津，理 6，5 分】已知奇函数 在 R 上是增函
4、数， 若 ，()f ()gxf2(log5.1)a， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）0.8(2)bg(3)cg（A） （B） （C） （D ）bacbca【答案】C【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数，所以在 时， ，从而 是 上的偶函fxR0x0fxgxfR数，且在 上是增函数， ， ，又 ， ，所以0,5.15.122logla.845.185.12log3即 ， ，所以 ，故选 C.85.12log30.8.3bac（7） 【2017 年天津，理 7，5 分】设函数 ， ，其中 ， 若 ，()sin()fxxR0|()f，且 的最小正周期大于 ，则（ ）()08f()fx2（A）
5、 ， （B） ， （ C） ， （D ） ，2313113241324【答案】A【解析】由题意 ，其中 ，所以 ，又 ，所以 ，12581k12,kZ214()33k2T01所以 ， ，由 得 ，故选 A31k（8） 【2017 年天津，理 8，5 分】已知函数 设 ，若关于 x 的不等式 在23,1().xfaR()|2xfaR 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ）（A） （B ） （C） （D ）47,2164739,1623,39,16【答案】A【解析】不等式 为 ，当 时， 式即为 ，xfa*2xfaf1x*22xxax，又 （ 时取等号） ，223xx24736x（ 时取等号） ，所
6、以 ，当 ， 式为2394164391a1x*， ，又 （当 时取等2xa32xax322x23x号） ， （当 时取等号） ，所以 ，综上 ，故选 A2xa4716a二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9） 【2017 年天津，理 9，5 分】已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 aRi2【答案】 【解析】 为实数，则 ()2(1)()1255aii iai 20,53（10） 【2017 年天津，理 10，5 分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 【答案】 92【解析】设正方体边长为 ，则 ，外接球
7、直径为 a226183a3427923,8RaVR（11） 【2017 年天津，理 11，5 分】在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为 4cos()106sin【答案】2【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点2310xy22(1)xy34d（12） 【2017 年天津，理 12，5 分】若 ， ，则 的最小值为 ,abR01ab【答案】4【解析】 ，当且仅当 时取等号4214aba2,1（13） 【2017 年天津，理 13，5 分】在 中， ， ， 若 ，ABC 60 3AB2CBDC，且 ，则 的值为 ()AECBR4DE【答案】 31【解析】 ， ，则2cos603 12
8、3 123DEA13494（14） 【2017 年天津，理 14，5 分】用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个 （用数字作答）【答案】1080【解析】 41345508AC三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15） 【2017 年天津，理 15，13 分】在 中，内角 所对的边分别为 已知 ，ABC ,B,abcab，,6ac3sin5B（1）求 和 的值；bsiA（2）求 的值()4解：（1）在 中， ，故由 ，可得 由已知及余弦定理，BC ab3sin5B4cos5
9、B，22cos13ba所以 由正弦定理 ，得 所以 值为 ， 的值为bsiiabAin31siaAbb13sinA31（2）由（1）及 ，得 ，所以 ， ac213os12sin2icos325cos1sin13A故 7sin()inc4446AA（16） 【2017 年天津，理 16，13 分】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在4各路口遇到红灯的概率分别为 1,234（1）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（2）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率解：（1）随机变量 的所有可能
10、取值为 0，1，2，3 ，11(0)()()234P，1()()()344P， 12 ()232X ()2X所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P144414随机变量 的数学期望 X1()0322EX（2）设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为YZ(1)(,1)(,)(0)(1)0)PZYZPYPYZPYZ114248所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 148（17） 【2017 年天津，理 17，13 分】如图，在三棱锥 中， 底面 ，ABCABC点 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，90BACDENP，MD， 4P（1）求证： 平面
11、 ；/MB（2）求二面角 的正弦值；（3）已知点 在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长HPAHBE721AH解：如图，以 为原点，分别以 ， ， 方向为 轴、 轴、 轴正方向建立空间直角坐CAPxyz标系依题意可得 ， ， ， ， ， ，0,2,0B,40,40,D,E，0,1M2N（1） ， 设 ，为平面 的法向量，则 ，,0DE2,0(,)xyznB0DBn即 不妨设 ，可得 又 ，可得 2yxz1z1,01,2MNMN因为 平面 ，所以 平面 MNBE/MNDE（2）易知 为平面 的一个法向量设 为平面 的法向量，则 ，1(,0)nC2(,)xyznE20ENn因为
12、 ， ，所以 不妨设 ，可得 ,2(1,2)01y2(4,1)因此有 ，于是 二面角 的正弦值为12124cos,|n125sin,CM10525（3）依题意，设 （ ） ，则 ，进而可得 ， 由已知，AHh040,Hh(1,2)NHh(2,)BE得 ，整理得 ，解得 ，2|7|cos, 2153NBE 08085h或 12h所以，线段 的长为 或 AH8512（18） 【2017 年天津，理 18，13 分】已知 为等差数列，前 项和为 ， 是首项为 2 的等比数nan()nSNnb列，且公比大于 0， ， ， 23b341b4Sb（1）求 和 的通项公式；na（2）求数列 的前 项和 1n
13、N解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 由 ，得 ，而 ，dnbq231b21()bq12b所以 又因为 ，解得 所以， 由 ，可得 260q0q2n4a38da由 ，可得 ，联立，解得 ， ，由此可得 14=Sb156a1adn所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 n3nanb2nb（2）设数列 的前 项和为 ，由 ， ，有 ，21T26n124n1()4n故 ， ，2384(1)4nT 341583nT上述两式相减，得 23 1()nn 1()4nn得 所以，数列 的前 项和为 1(3)n183nT21nab 1283n（19） 【2017 年天津，理 19，14
14、 分】设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 已2(0)xyabFA知 是抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 A2(0)ypxFl2（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线 与 轴相交于lPQAPBBQx点 若 的面积为 ，求直线 的方程；D62解：（1）设 的坐标为 依题意， ， ， ，解得 ， ， ，F,0c1ca2pa12c1a2cp2234bac所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 2413yx24yx（2）设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故 AP(0)ml12(1,)Pm2(1,
15、)Q将 与 联立，消去 ，整理得 ，解得 ，1xmy2413yxx2(34)60my0y或 2634y由点 异于点 ，可得点 由 ，可得直线 的方程为BA2246,3mB21,QBQ6，令 ，解得 ，故 226342()(11)(034mmxy y23mx23(,0)D所以 又因为 的面积为 ，故 ，整理得226|ADAPD62216|， ， 直线 的方程为 ，26|0|3630xy或 3xy（20） 【2017 年天津，理 20，14 分】设 ，已知定义在 R 上的函数 在区间aZ432()26fxa内有一个零点 ， 为 的导函数1,20xgfx（1）求 的单调区间；g（2）设 ，函数 ，求
16、证： ；,)(,2m0hgmxf0hmx（3）求证：存在大于 0 的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足A,pq1,)(,2041|pxqA解：（1）由 ，可得 ，可得 432()26fxxa32()896gxfxx2()4186gxx令 ，解得 ，或 当 x 变化时， 的变化情况如下表：g 14,gx ,1,41,4+ - +g 所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 x,1,41,4（2）由 ，得 ， 0()()(hmf0()()(hmgxfm000)()(hxgmxf令函数 ，则 由（1）知，当 时， ，1Hgx1H ,2)0gx故当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
17、增0,)x1()1()x0(,21()H1()因此，当 时， ，可得 ， 0,210)fxh令函数 ，则 由（1）知， 在 上单调递增，2(xf20(ggx,故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减0,)x2()2()x(,2()02()因此，当 时， ，可得 ， 所以，01,20)H2)m0()hm（3）对于任意的正整数 ， ，且 ，令 ，函数 pq01)(,xpq0()()(hgxxmf由（2）知，当 时， 在区间 内有零点；当 时 在区间 内有零01),mx(h0)m0,2),点所以 在 内至少有一个零点，不妨设为 ，则 ()hx,21x110()()(phgxfq由（1）知 在 上单调递增，故 ，g10()2g于是 因为当 时， ，432340 41()|()|26| ()pffppqpaqxqg 12,x()0gx故 在 上单调递增，所以 在区间 上除 外没有其他的零点，而 ，()f,2()fx1,0x0pq7故 ()0pfq又因为 ， ， 均为整数，所以 是正整数，a43234|26|pqpqa从而 只要取 ，就有 4323|261qpqa01|()xg()2Ag041|pxqA
