1、第 1 页（共 31 页）高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分 150 分，其中选择题共 75 分，填空题共 25 分，解答题共 50 分。试卷难度：0.63一选择题（共 15 小题，满分 75 分，每小题 5 分）1 （5 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若 a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D82 （5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（
2、）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏3 （5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1 ，2 ，1，2，4 ，1，2 ，4，8，1 ，2，4，8，16 ， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330 C220 D1104 （5 分）已知数列a n、 bn、c n，以下两个命题：若
3、a n+bn、b n+cn、a n+cn都是递增数列，则a n、b n、c n都是递增数列；若a n+bn、b n+cn、a n+cn都是等差数列，则a n、b n、c n都是等差数列；下列判断正确的是（ ）A都是真命题 B 都是假命题C 是真命题，是假命题 D是假命题，是真命题5 （5 分）一给定函数 y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意 a1（0，1） ，第 2 页（共 31 页）由关系式 an+1=f（a n）得到的数列 an满足 an+1a n，n N*，则该函数的图象是（ ）A B C D6 （5 分）若数列a n， bn的通项公式分别为 an=（1） n+2016a，b n=2
4、+，且 anb n，对任意 nN*恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A B1，1） C 2，1） D7 （5 分）数列a n是正项等比数列， bn是等差数列，且 a6=b7，则有（ ）Aa 3+a9b 4+b10 Ba 3+a9b 4+b10C a3+a9b 4+b10 Da 3+a9 与 b4+b10 大小不确定8 （5 分）已知数列a n满足： a1=1，a n+1= （n N*）若（nN *） ，b 1= ，且数列b n是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）A B1 C D9 （5 分）设A nBnCn 的三边长分别是 an，b n，c n，A nBnCn 的面积为Sn，nN *
5、，若 b1c 1，b 1+c1=2a1，b n+1= ，则（ ）AS n为递减数列BS n为递增数列第 3 页（共 31 页）C S2n1为递增数列， S2n为递减数列DS 2n1为递减数列，S 2n为递增数列10 （5 分） 张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 5 尺，一个月（按 30 天计算）总共织布 390 尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）A 尺 B 尺 C 尺 D 尺11 （5 分）已知数列a
6、 n为等差数列，S n 其前 n 项和，且 a2=3a46，则 S9 等于（ ）A25 B27 C50 D5412 （5 分） 九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各德几何 ”其意思为“已知A、B 、C、D、E 五人分 5 钱，A、B 两人所得与 C、D、E 三人所得相同，且A、B 、C、D、E 每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 在这个问题中，E 所得为（ ）A 钱 B 钱 C 钱 D 钱13 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 sn，且 S2=10，S 5=55，则过点P（n， an
7、） ，Q（n+2，a n+2） （n N*）的直线的斜率为（ ）A4 B C4 D14 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S3=9，a 2a4=21，数列b n满足 ，若 ，则 n 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D915 （5 分）已知函数 f（ x）的图象关于 x=1 对称，且 f（x ）在（ 1，+）上单调，若数列a n是公差不为 0 的等差数列，且 f（a 50）=f（a 51） ，则a n的前 100项的和为（ ）第 4 页（共 31 页）A 200 B100 C50 D0二填空题（共 5 小题，满分 25 分，每小题 5 分）16 （5 分）等比数列a n的
8、各项均为实数，其前 n 项为 Sn，已知S3= ，S 6= ，则 a8= 17 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 3=3，S 4=10，则 = 18 （5 分） “中国剩余定理”又称“ 孙子定理”1852 年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“ 物不知数” 问题的解法传至欧洲 1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理 ” “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，
9、构成数列a n，则此数列的项数为 19 （5 分）已知无穷数列a n，a 1=1，a 2=2，对任意 nN*，有 an+2=an，数列bn满足 bn+1bn=an（n N*） ，若数列 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的 b1 的值为 20 （5 分）设数列a n的通项公式为 an=n2+bn，若数列 an是单调递增数列，则实数 b 的取值范围为 三解答题（共 5 小题，满分 50 分，每小题 10 分）21 （10 分）对于给定的正整数 k，若数列a n满足：ank+ank+1+an1+an+1+an+k1+an+k=2kan 对任意正整数 n（n k）总成立，则称数列a
10、n是“P（k）数列” （1）证明：等差数列a n是“P（3）数列”；（2）若数列a n既是“P（2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：a n是等差数列22 （10 分）设a n和b n是两个等差数列，记第 5 页（共 31 页）cn=maxb1a1n，b 2a2n，b nann（n=1，2，3，） ，其中 maxx1，x 2，x s表示 x1，x 2，x s 这 s 个数中最大的数（1）若 an=n，b n=2n1，求 c1，c 2，c 3 的值，并证明c n是等差数列；（2）证明：或者对任意正数 M，存在正整数 m，当 nm 时， M ；或者存在正整数 m，使得 cm，c m+1，c m
11、+2，是等差数列23 （10 分）已知等差数列a n和等比数列b n满足a1=b1=1，a 2+a4=10，b 2b4=a5（）求a n的通项公式；（）求和：b 1+b3+b5+b2n124 （10 分）记 Sn 为等比数列a n的前 n 项和已知 S2=2，S 3=6（1）求a n的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，S n，S n+2 是否成等差数列25 （10 分）已知x n是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3，x 3x2=2（）求数列x n的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1（x 1，1） ，P2（x 2，2）P n+1（x n+1，n+
12、1）得到折线 P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n+1 所围成的区域的面积 Tn第 6 页（共 31 页）高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 15 小题，满分 75 分，每小题 5 分）1 （5 分） （2017新课标）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和若a4+a5=24，S 6=48，则a n的公差为（ ）A1 B2 C4 D8【考点】85：等差数列的前 n 项和；84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法； 54 ：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式及
13、前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a n的公差【解答】解：S n 为等差数列 an的前 n 项和，a 4+a5=24，S 6=48， ，解得 a1=2，d=4，a n的公差为 4故选：C【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用2 （5 分） （2017新课标）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏
14、第 7 页（共 31 页）【考点】89：等比数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a 的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381= =127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列
15、的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题3 （5 分） （2017新课标）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1 ，2 ，1，2，4 ，1，2 ，4，8，1 ，2，4，8，16 ， ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）A440 B330 C220 D110【考点】8E：数列的求
16、和 菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】方法一：由数列的性质，求得数列b n的通项公式及前 n 项和，可知当 N 为 时（nN +） ，数列a n的前 N 项和为数列 bn的前 n 项和，即为2nn2，容易得到 N100 时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；第 8 页（共 31 页）方法二：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 Sn=2n+12n，及项数，由题意可知：2 n+1 为 2 的整数幂只需将 2n 消去即可，分别分别即可求得 N 的值【解答】解：设该数列为a n，设 bn= + =2n1， （nN +） ，则= ai，
17、由题意可设数列a n的前 N 项和为 SN，数列b n的前 n 项和为 Tn，则Tn=211+221+2n1=2nn2，可知当 N 为 时（nN +） ，数列a n的前 N 项和为数列 bn的前 n 项和，即为 2nn2，容易得到 N100 时，n14，A 项，由 =435，440=435+5，可知 S440=T29+b5=230292+251=230，故 A 项符合题意B 项，仿上可知 =325，可知 S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不为 2的整数幂，故 B 项不符合题意C 项，仿上可知 =210，可知 S220=T20+b10=221202+2101=221+
18、21023，显然不为 2 的整数幂，故 C 项不符合题意D 项，仿上可知 =105，可知 S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然不为2 的整数幂，故 D 项不符合题意故选 A方法二：由题意可知： ， ， ，根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：2 11，2 21，2 31，2 n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，第 9 页（共 31 页）总共的项数为 N=1+2+3+n= ，所有项数的和为 Sn：2 11+221+231+2n1=（2 1+22+23+2n）n= n=2n+12n，由题意可知：2 n+1 为 2 的整数幂只需将 2n 消去即可，则1+2+
19、（2n）=0，解得：n=1 ，总共有 +2=3，不满足 N100，1+2 +4+（2 n）=0 ，解得：n=5 ，总共有 +3=18，不满足 N100，1+2 +4+8+（2 n）=0 ，解得：n=13 ，总共有 +4=95，不满足N100，1+2 +4+8+16+（2n）=0，解得：n=29 ，总共有 +5=440，满足N100，该款软件的激活码 440故选 A【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前 n 项和，考查计算能力，属于难题4 （5 分） （2017上海模拟）已知数列a n、b n、c n，以下两个命题：若a n+bn、b n+cn、a n+cn都是递增数列，则a n、b
20、 n、c n都是递增数列；若a n+bn、b n+cn、a n+cn都是等差数列，则a n、b n、c n都是等差数列；下列判断正确的是（ ）A都是真命题 B 都是假命题C 是真命题，是假命题 D是假命题，是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O ：定义法； 5L ：简易逻辑【分析】对于不妨设 an=2n，b n=3n、c n=sinn，满足a n+bn、b n+cn、a n+cn都是递增数列，但是不满足 cn=sinn 是递增数列，第 10 页（共 31 页）对于根据等差数列的性质和定义即可判断【解答】解：对于不妨设 an=2n
21、，b n=3n、c n=sinn，a n+bn、b n+cn、a n+cn都是递增数列，但 cn=sinn 不是递增数列，故为假命题，对于a n+bn、b n+cn、a n+cn都是等差数列，不妨设公差为分别为a， b，c ，a n+bnan1bn1=a，b n+cnbn1cn1=b，a n+cnan1cn1=c，设a n，b n、c n的公差为 x，y，x ，则 x= ， y= ，z= ，故若a n+bn、b n+cn、a n+cn都是等差数列，则a n、b n、c n都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题5 （5 分） （2017徐汇区校级模拟）一给定函数 y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意 a1（0，1） ，由关系式 an+1=f（a n）得到的数列 an满足an+1a n，nN *，则该函数的图象是（ ）A B C D
