1、高中数学题库1. 求下列函数的值域： 解法 2 令 tsin x，则 f(t) t2 t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于 t的二次函数 f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法 2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距 万千米
2、和 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别m34为 ，求该慧星与地球的最近距离。32和解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 处，椭圆的方程为)0,(cF（图见教材 P132 页例 1） 。12byax当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只3能满足 。作)3(3/xFAx或 mFBOxB321， 则于故由椭圆第二定义可知得 )32(342mcam两式相减得 ,23)4(1.,231 cac 代 入 第 一 式 得.2mc答：彗星与地球的最近距离为 万千米。3说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦
3、点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是ca.ca（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 ，C 在 B 正北偏西 ，相距 4Km30，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B，C 两地比 A 距KmP 地远，因此 4 后，B，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 ，As sKm/若炮击 P 地，
4、求炮击的方位角。 （图见优化设计教师用书 P249 例 2）解：如图，以直线 BA 为 轴，线段 BA 的中垂线为 轴建立坐标系，则xy，因为 ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。)32,5()0,3,(ABCP因为 ，BC 中点 ，所以直线 PD 的方程为 Ck),4(D)4(31xy（1）又 故 P 在以 A，B 为焦点的双曲线右支上。设 ，则双曲线方程为,4PB ),(xP（2） 。联立（1） （2） ，得 ，)0(542xyx 35,8y所以 因此 ，故炮击的方位角北偏东 。).3,8(P385PAk 0说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
5、4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 。将 B（4,-5）代入)0(2pyx得 P=1.6船两侧与抛物线接触时不能通过yx2.3则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=y A +0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行思维点拔 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧
6、。 5. 如图所示，直线 和 相交于点 M， ，点 ，以 A、B 为端点的曲线段 C1l221l1lN上任一点到 的距离与到点 N 的距离相等。若 为锐角三角形，2 ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。6B,3,7且AM解：以直线 为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲1l线段 C 是以点 N 为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端2l点。设曲线段 C 的方程为 ，其中 为 A、B 的)0,)(02 yxpxyBAx,横坐标， ，所以 ，由 ，得Mp,2,(N3,17NM（1）72)(AAxx（2） ， （1） （2
7、）联立解得 ，代入（1）式，并由9p pxA40解得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，故舍去 ，所214AAxp或 MNAx22Axp以 A由点 B 在曲线段 C 上，得 ，综上，曲线段 C 的方程为42PBNx)0,41(82yxy思维点拔 本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。6. 设抛物线 的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，AB为半径，在 x 轴)0(42axy上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 M，N。点 P 是 MN 的中点。（1）求AM+ AN的值（2）是否存在实数 a，恰使AM AP AN成等
8、差数列？若存在，求出 a，不存在，说明理由。解：(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N ,P.AM+AN=MM+NN=x M+xN+2a 又圆方程16)4(2yax将 代入得y2 08)4(2axx得AM+AN=8axNM(2)假设存在 a因为AM+ AN=MM+NN=2PP所以AP=PP ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。7. 抛物线 上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，若02pxy成等差数列BFMA,（1）求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q（2）若 （O 为坐标原点） ，求抛物线的方程。6,4（3）对于（2）中的抛物线，
9、求AQB 面积的最大值。解：（1）设 ，则 ， ，021, yxByxA21pxAF2pxB，由题意得 ， 的中点坐标可设为 ，其中20pMF210Bt,0（否则 ） ，1yt 0pFMA而 ，故 AB 的垂直平分线为2121ypxkABty21，即 ，可知其过定点0xpty00ypxt 0,pxQ（2）由 ，得 ，联立解得6,4OQMF6,4200x2,40。xy8（3）直线 AB： ，代入 得 ，xtyxy821622ty， 2212121 464tyy 2121y,642tt2121yxAB226tt，又点 到 AB 的距离 ，451t0,6Q26td dABSQ1226t4215649
10、t令 ，则 ，令 即61409tu53u 0u，得 或 或 ， 时5153tt 022t162t34t。69AQBS思维点拔 设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。8、已知直线 交椭圆 于 A、B 两点，若 为 的倾斜角，)2tan(:xyl 92yxl且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。AB解：将 的方程与椭圆方程联立，消去 ，得l y09tan72tan236)tan91(2 xx 2212 tan916)t1(tt AB由 ，3tan3,tan,2 得的取值范围是 ,65,0思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握
11、、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，ltan所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。229、已知抛物线 与直线 相交于 A、B 两点xy)1(xky（1） 求证： OBA（2） 当 的面积等于 时，求 的值。0k（1） 证明：图见教材 P127页，由方程组 消去 后，整理得)1(2xy。设 ，由韦达定理得 在抛02ky,(),(21BxA12yBA,物线 上， 1212 xyxyOBAxykOBA ,212121（2） 解：设直线与 轴交于 N，又显然 令,0k ），（ ， 即则 01N,xy21212yNOSSBOAB 4)(4)(121kyy61,20, kSOAB 解
12、 得思维点拔 本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。10、在抛物线 y2=4x上恒有两点关于直线 y=kx+3对称，求 k的取值范围。解设 B、C 关于直线 y=kx+3对称，直线 BC方程为 x=-ky+m代入 y2=4x得：y2+4ky-4m=0， 设 B（x 1，y 1） 、C（x 2，y 2） ，BC 中点 M（x 0，y 0） ，则y0=（y 1+y2）/2=-2k。x 0=2k2+m，点 M（x 0，y 0）在直线上。-2k（2k 2+m）+3，m=- 又 BC与抛物线交于不k33同两点，=16k 2+16m0把 m代入化
13、简得 即 ，03k0)(12k解得-10l即 m2-k2-90，b0）的值是最0,263yx大值为 12，则 的最小值为（ ） 2abA B C D 4653831答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时，目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而 = ，故23ab23()6ab1()ab13256选 A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标
14、函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求 的23ab最小值常用乘积进而用基本不等式解答13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和 200 元/ 分钟，规定甲、50乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 03 万元和 02万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为xy元，由题意得z30529.xy ， ， ， 目标函数为 30zx
15、y二元一次不等式组等价于30529.xy ， ， ， 0 100 200 300100200300400500yxl M作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 ，即 :3020lxy320xy平移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值M联立 解得 点 的坐标为 5290.xy， 1xy， (102)，（元） max370zy点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热
16、点题型之一14、设 a为实数，函数 2()()|fxax(1)若 (0)1f，求 的取值范围；(2)求 的最小值；(3)设函数 (),)hxf，直接写出( 不需给出演算步骤) 不等式 ()1hx的解集解析：（1）若 ，则 ；(0)1f20|11a（2）当 时， ，xa22()3,fxx2min(),0,() 03faf a当 时， ，22(),fa2in(),()0ffa综上 ；2min,0()3fxa（3） 时， 得 ，,()1hx22310ax2418当 时， ；6a或 0,(,)x当 时，0，得： ；62a2233()()0aaxx讨论得：当 时，解集为 ；6(,)2(,)a当 时，解集
17、为 ；(,)a2233(,)a当 时，解集为 2,2,)a点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力15、知函数 321()fx（）设 是正数组成的数列，前 n 项和为 ，其中 若点nanS13a(nN*)在函数 的图象上，求证：点 也在 的图21(,)n()yfx(,)nS()yfx象上；（）求函数 在区间 内的极值()fx(1,)a解析：()证明： 因为 所以 ，32,fx2()fx由点 在函数 的图象上,21(,)(Nnnay21nnaa， 又 ，1)na0(N)na所以 ， 是 的等差数列，12n3,2d所以 ,又因为 ,所以 ,2()3=S2()f ()nSf故点 也在函数 的图象上,n()yfx()解: ,令 得 2()2fx0,f2x或当 x变化时, 的变化情况如下表:f()fxx (-,-2) -2 (-
