1、高考圆锥曲线知识点汇总知识摘要:1、椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程2、双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质3、抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质一、椭圆方程.1. 椭圆的定义:平面内与两个定点 F ,F 的距离之和等于常数 (大于 )的点的122a12F轨迹叫做椭圆.其中两个定点 F ,F 为椭圆的两个焦点,两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距.第一定义:当 ,无轨迹1212PFa当 ,轨迹是以 , 为端点的线段F1F2当 ,轨迹为椭圆1212第二定义:椭圆上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的比等于离心率 .切记:“点点距为分e子、点线距为分母” ,其商即是离心率 .
2、e如图: 或 1PFceda2PFcda2、椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在 轴上的椭圆的标准方程:x21(0)xyab(2)中心在原点,焦点在 轴上的椭圆的标准方程:y2()yxab3、椭圆的一般方程: 21(0,)ABy4、焦点在 轴上的椭圆的标准方程: 12byax的参数方程为 sincobyax(其中 为参数)x5、椭圆 的几何性质:21(0)yab(1)顶点: 和 ,其中长轴长为 2 ,短轴长为 2 (,0)a,bab(2)焦点:两个焦点 ,焦距: 1,cF,c(3)范围: xy(4)对称性:两条对称轴 ,一个对称中心(0,0)0,(5)准线:两条准线2axc(6)离心率:
3、( ) ,其中 越小,椭圆越圆; 越大,椭圆越扁。e01eee(7)焦点半径:“左加右减”I、设 ),(0yxP为椭圆 上的一点, 21,F为左、右焦点,则2(0)xyab1020,Faee、设 ),(0yxP为椭圆 上的一点, 21,F为上、下焦点,则21()xab1020,aeey(8)通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经:2bda注:若 P 是椭圆: 12bya上的点. 21,F为焦点,若 21PF,则 21F的面积为2tanb(用余弦定理与 aPF2可得)二、双曲线方程.1. 双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点 F ,F 的距离之差的绝对值等于常数 (且12 2a)的点的轨迹叫
4、做双曲线.120aF当 ,轨迹为双曲线12P当 ,轨迹是以 , 为端点的射线12 12当 ,无轨迹12FaF第二定义:平面内到定点 F 的距离与它到定直线的距离的比为常数 ( )的点的轨迹叫做双曲线.e1如图: , 为点 到定直线的距离.dM切记:“点点距为分子、点线距为分母” ,其商即是离心率 .e2、双曲线的标准方程:(1)中心在原点,焦点在 轴上的双曲线的标准方程:x21(0,)xyab(2)中心在原点,焦点在 轴上的双曲线的标准方程:y2(,)yxab3、双曲线的一般方程: 21(0)AxBy4、双曲线 的几何性质:21(0,)xyab(1)顶点: ,其中实轴长为 2 ,虚轴长为 2
5、(,)ab(2)焦点:两个焦点 ,焦距:,0c 21,Fca(3)范围: xayR(4)对称性:两条对称轴 ,一个对称中心(0,0),xy(5)准线方程:两条准线2ac(6)离心率: ( )ce1(7)渐近线方程: byxa(8)焦点半径:“长加短减” 原则:焦点半径公式:对于双曲线方程 12by( 2,F分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) aexMF021构成满足 aMF21 aex021(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)Fe yxMF12 yx12aeyFMaey021021 5、等轴双曲线:双曲线 22ayx称为等轴双曲线,其渐近线方程为 xy
6、,离心率2e.三、抛物线方程.3. 设 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:0ppxy2pxy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 (0,0)离心率 1e半焦距 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF注: cbya2顶点 )4(abc. )0(px则焦点半径 2x; )0(py则焦点半径为 2y.通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2(或 py2)的参数方程为 ptyx2(或 2ptyx) ( 为参数).注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何
7、性质椭圆 双曲线 抛物线1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2 (2 a|F1F2|)的点的轨迹a1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2 (01)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形 略 略 略标准方程 12byax( 0) 12byax(a0,b0) 2ypx方程参数方程 为 离 心 角 )参 数 (sinco为 离 心 角 )参 数 (tnsect(t 为参数)范围 ,axby,xayR0x中心 原点 O (0,)原点 O (0,)顶点 ,,(0,)对称轴 轴, 轴;xy长轴长 2 ,短轴长 2ba轴, 轴;xy实轴长 2 , 虚轴长 2b.a轴x焦点 1(0)(Fc1(0)(Fc),2(pF焦距(c= 2b) ( c= 2b)离心率 )(ea)(eae=1准线x= c2x= c22px渐近线 y= abx焦半径 exar)(aexr2pxr通径 b2b22p焦参数 ca2ca2P