1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.已知集合 P= ，Q= ，则 P =|13 |24 ()A.2,3 B.(-2,3 C.1,2) D.(,21,+)2.已知互相垂直的平面 交于直线 l，若直线 m,n 满足 ，则， m， A. B. C. D. m m 3.在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|=20+03+40A. B.4 C.
2、 D.622 324.命题“ 使得 ”的否定形式是xR， n， n2A. 使得 B. 使得 xR， n， n1) 2： 222=1(0) 1， 2别为 的离心率，则1， 2A. 且 B. 且 121 121 0)11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是 cm2，体积是cm3.12.已知 ，若 ，则 a=，b=.a1+=52， =13.设数列 的前 n 项和为 ，若 2=4， +1=2+1，则 =， =. 1 514.如图，在 中，AB=BC=2， .若平面 ABC=120ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PD=DA，PB=BA，则四面体 PBCD
3、的体积的最大值是.15.已知向量 a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|ae|+|be| ，则 ab 的最大值是.6三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本题满分 14 分）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知ABC, ,abc2cosba（）证明：（）若 的面积 ，求角 A 的大小. ABC24aS17.（本题满分 15 分）如图，在三棱台 中，已知平面 BCFE 平面 ABC，ABCDEF， ， ， ，90ACB1EF23（）求证： 平 面（）求二面角 的余弦值 .-DC18. （本题满分 15 分）设 ，函数 ,
4、3a2()min|1|,42Fxxax其中 min， =， ， （）求使得等式 成立的 x 的取值范围2()42Fxx（） （i）求 的最小值 ()ma（ii）求 在 上的最大值 ()x0,6()M19.（本题满分 15 分）如图，设椭圆 C:21()xya（）求直线 被椭圆截得到的弦长（用 a,k 表1ykx示）（）若任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有三个公(0,)A共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、 （本题满分 15 分）设数列 满足 ， 1|2na（）求证： 1|2(|)(*)naN（）若 ， ，证明： ， . 3|)n|na*浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和
5、基本运算。每小题 5 分，满分 40 分.1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 16 分.9.9 10. 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14. 15. 2,1 12三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（I）由正弦定理得 ，sinC2sincoA故 ，2sincosicosinAA于是 i又 ， ，故 ，所以0,或 ，A因此 （舍去）或 ，2所以， 2（II）
6、由 得 ，故有4aS1sinC4ab，sini2ico因 ，得 0s又 ， ，所以 C,当 时， ；2A当 时， 4综上， 或 17.本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。（I）延长 ， ， 相交于一点 ，如图所示DACF因为平面 平面 ，且 ，所以，CA平面 ，因此，CF又因为 ， ， ，所以F/CF1C2为等边三角形，且 为 的中点，则所以 平面 DA（II）方法一：过点 作 ，连结 FQA因为 平面 ，所以 ，则 平面 ，所以 CFAQFA所以， 是二面角 的平面角D在 中， ， ，得 RtA3231F在 中， ， ，得
7、 tQF13cosQ4所以，二面角 的平面角的余弦值为 DA方法二：如图，延长 ， ， 相交于一点 ，则 为等边三角形CFC取 的中点 ，则 ，又平面 平面 ，所以， 平面 CFACA以点 为原点，分别以射线 ， 的方向为 ， 的正方向，xz建立空间直角坐标系 xyz由题意得， ， ，1,01,0,3， ， ,3A,21F,02因此， ， C0,3,3A设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 1,mxyz2,nxyz由 ，得 ，取 ；C0mA1130yxz3,01m由 ，得 ，取 0n2230y,2n于是， cos,4mn所以，二面角 的平面角的余弦值为 DFA3418.本题主要考查函数的单调
8、性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。（I）由于 ，故3a当 时， ，1x2 242110xaxax当 时， 所以，使得等式 成立的 的取值范围为2Fxx2,a（II） （i）设函数 ， ，则21fx242gxa， ，min10fxmin所以，由 的定义知 ，即F,af2,34,2a（ii）当 时，0x，Fma0,F2ff当 时，26x2,6ax,348maxF2,6xgg所以，348,42a19本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（I）设直
9、线 被椭圆截得的线段为 ，由 得1ykxA21ykxa，2210a故， 10x221ak因此22 211kkxaA（II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ，4y，满足Q记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， A1k2120k12k由（I）知， ，221ak22Qak故，222121kkaa所以 22221110k由于 ， ， 得2k20k，11a因此， 22211ak因为式关于 ， 的方程有解的充要条件是12k，2a所以因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为0,1A3，12a由 得，所求离心率的取值范围为 ce 20e20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。（I）由 得 ，故12na12na， ，1nn所以 1122312 2n naaaa11n，因此12na（II）任取 ，由（I ）知，对于任意 ，mn1121222nmnnmaaa11nm，2故12mnnaa132nnm4n从而对于任意 ，均有32mnna由 的任意性得 2na否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，则00n00342lognam0mn，00340 02log324namn与式矛盾综上，对于任意 ，均有 2na
