1、2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题， 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在 评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试(A) 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） a 2 1设二次函数 y x 2 2ax 的图象的顶点为 A ，与 x 轴的交点为 B, C .当 ABC 为等边三角 2 形时，其边长为 （ ） A. 6 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 2 【答】C. a 2 由题设知 A( a
2、, ) .设 B(x ,0) ， C(x ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 1 2 2 a2 BC | x x | (x x ) 2 4x x 4a 2 4 2a 2. 1 2 1 2 1 2 2 3 a 2 3 又 AD BC ，则| | 2a 2，解得 a 2 6 或 a 2 0 （舍去）. 2 2 2 所以， ABC 的边长 BC 2a 2 2 3 . ABCD BAD BD E AB 1 CAE 15 BE 2如图，在矩形 中， 的平分线交 于点 ， ， ，则 （ ） 3 2 A. B. C. 2 1D. 3 1 A D 3 2 【答】D. E 延长 AE
3、交 BC 于点 F ，过点 E 作 BC 的垂线，垂足为 H . 由已知得 BAF FAD AFB HEF 45， BF AB 1， B C H F EBH ACB 30 . x 3x 设 BE x ，则 HF HE ， BH . 2 2 3x x 因为 BF BH HF ，所以 1 ，解得 x 3 1.所以 BE 3 1 . 2 2 3设 p, q 均为大于 3 的素数，则使 p 2 5 pq 4q 2为完全平方数的素数对 ( p, q) 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答】B. 2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 10 页）设 p 2 5 pq
4、 4q 2 m 2（ m 为自然数），则 ( p 2q) 2 pq m 2，即 (m p 2q)(m p 2q) pq . 由于 p, q 为素数，且 m p 2q p, m p 2q q ，所以 m p 2q 1 ， m p 2q pq ，从 而 pq 2 p 4q 1 0 ，即 ( p 4)(q 2) 9 ，所以 ( p, q) (5,11) 或 (7, 5) . 所以，满足条件的素数对 ( p, q) 的个数为 2. ( 1 a ) 2 (1 b) 2 5 5 4若实数 a, b 满足 a b 2， 4 ， 则 a b （ ） b a A.46 B.64 C. 82 D.1 28 【答】
5、C. (1 a) 2 (1 b) 2 由条件 4 得 a b 2a 2 2b 2 4ab a 3 b 3 0 ， b a 即 (a b) 2(a b) 2 4ab (a b)(a b) 2 3ab 0 ， 又 a b 2，所以 2 24 4ab 24 3ab 0 ，解得 ab 1.所以 a 2 b 2 (a b ) 2 2ab 6 ， a 3 b 3 ( a b)( a b) 2 3ab 14 ， a 5 b 5 (a 2 b 2)(a 3 b 3) a 2 b 2(a b) 82 . 5对任意的整数 x, y ，定义 x y x y xy ，则使得 ( x y ) z ( y z ) x (
6、 z x ) y 0 的整数组 (x, y, z) 的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D . 4 【答】D. (x y) z (x y xy) z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ， 由对称性，同样可得 ( y z) x x y z xy yz zx xyz ， (z x) y x y z xy yz zx xyz . 所以，由已知可得 x y z xy yz zx xyz 0 ，即 (x 1)( y 1)(z 1) 1. 所以， x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况： x 1 1, x 11 , x 1 1, x 1 1, y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, 或 y 1 1, z 1 1, z 11 , z 1 1, z 1 1, 所以， (x, y, z) (2,2,0) 或 (2,0,2) 或 (0,2,2) 或 (0,0,0) ，故共有 4 个符合要求的整数组. 2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准 第 2 页（共 10 页）
