1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2015 年四川，理 1】设集合 ，集合 ，则 （ ）|(1)20Ax|13BxAB（A） （B ） （C） （D ）|3x2|23x【答案】A【解析】 ， ， ，故选 A|2|3|A（2） 【2015 年四川，理 2】设 是虚数单位，则复数 （ ）i 32i（A） （B ） （C ） （D）iii 3i【答案】C【解析】 ，故选 C32ii i（3） 【2015 年四川，理 3】执行如图所示的程序框图
2、，输出 的值是（ ）S（A）（B）（C）（D） 1212【答案】D【解析】易得当 时时执行的是否，当 时就执行是的步骤，所以 ，故选 D1,234k5k5sin6S（4） 【2015 年四川，理 4】下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）（A） （B） （C） （D）cos()2yxsin(2)yxsin2cosyxsincoyx【答案】A【解析】显然对于 A， ，为关于原点对称，且 最小正周期是 ，符合题意，故选 Acs()iyx （5） 【2015 年四川，理 5】过双曲线 的右焦点且与 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 ，213yx两点，则 （ ）B|（A） （
3、B） （C ）6 （D ）432 43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为 ，且右焦点 ，则直线 与两条渐近线的交点分别3yx(2,0)2x为， ， ，故选 DA(2,3)B(2,3)|4AB（6） 【2015 年四川，理 6】用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（ ）（A）144 个 （B）120 个 （C）96 个 （D）72 个【答案】B【解析】这里大于 40000 的数可以分两类：当 5 在万位时，个位可以排 0、2、4 三个数中的一个，十位百位和千位没有限制有 种；13472CA当 4 在万位时，个位可以排 0、2 两
4、个数中的一个，十位百位和千位没有限制，有 种，28综上所述：总共有 72+48=120 种，故选 B（7） 【2015 年四川，理 7】设四边形 为平行四边形， ， 若点 ， 满足 ，ACD6A4DMNB2，则 （ ）2DNCAMN（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过 建立直角坐标系，可得到 ，B0,6A， ， ， ， ，故选 C3,04,23,61,2NM3129ANM（8） 【2015 年四川，理 8】设 ， 都是不等于 1 的正数，则“ ”是“ ”的（ ）ab3ablogl3ab（A）充要条件 （B）充分不必要
5、条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知条件 可得 当 时， ，即3abab33logl0331loglab “ ”是“ ”的充分条件然而取 则 ，loglab3logl3ab0log3ab满足 ，却不满足 “ ”是“ ”的不必要条件综上og1allab“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 B3abllab（9） 【2015 年四川，理 9】如果函数 在区间 单调递减，则2810,fxmxnmn1,2mn的最大值为（ ）（A）16 （ B）18 （C）25 （D） 82【答案】B【解析】 ，由于 单调递减得： ， 在 上恒成28fxmxnfx0fx20mx
6、n1,立设 ，则一次函数 在 上为非正数只须在两个端点处gg1,2和 即可即 ，102ff 1280mn 由得： 当且仅当 时取到最大12mn21822mn3,6n值 经验证， 满足条件和 ，故选 B183,6（10） 【2015 年四川，理 10】设直线 与抛物线 相交于 ， 两点，与圆 相切l4yxA2250xyr于点 ，且 为线段 的中点 若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是（ ）MABlr（A） （B） （C） （D）,31, 2,3,4【答案】D【解析】设 ， ， ，则 ，两式相减，得：1,xy2,xy5cos,inMr124yx，当直线 的斜率不存在时，显然符合条件的直线1
7、212124ll有两条当直线 的斜率存在时，可得：l，121212sin sinAByryxkxr 又 ， ，si0sin5coMCrkcoMCkxyBOMCA3 2cos2sinicosrr由于 在抛物线的内部， ，M2in45cos204cos20412rr ， ，因此， ，故选 Di23i 316rr 4r第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（11） 【2015 年四川，理 11】在 的展开式中，含 的项的系数是 21x2x【答案】-40【解析】由题意可知 的系数为： 2x235()40C（12） 【2015 年四川，理 12】 的值是 sini7
8、【答案】 6【解析】 36sin15i7si15cos2sin1542sin602（13） 【2015 年四川，理 13】某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）满足函数关系yxC（ 为自然对数的底数， ， 为常数） 若该食品在 的保鲜时间是 192 小时，在kxbye2.8 kb的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 的保鲜时间是_小时23C3C【答案】24【解析】 ， ， ，0+19kbe 248kbe 2142kke当 时， ， 3x3kbx 3389kx（14） 【2015 年四川，理 14】如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点 在ABCDPQM线段
9、 上， ， 分别为 ， 中点，设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值为 PQEFEMAFcos【答案】 25【解析】以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为ABxDyAQz，则 ， ， ， ， ，0,2,10F,E0,2m2,10AF1,2EMm 令2cos ,5EMmA 2()(,)5f， ， ，从22()105()f 0,()0fmmax2()(0)5ff而 maxcos（15） 【2015 年四川，理 15】已知函数 ， (其中 )对于不相等的实数 ， ，设2xf2gxaR1x2， ，现有如下命题：12ffx12gxn(1) 对于任意不相等的实数 ， ，都有
10、 ；10m(2) 对于任意 的及任意不相等的实数 ， ，都有 ；a1x2n(3) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 ；FEABCDPQM4(4) 对于任意的 ，存在不相等的实数 ， ，使得 a1x2mn其中的真命题有_（写出所有真命题的序号） 【答案】(1) (4)【解析】(1)设 ， ,函数 是增函数， ， ，则 = 0，1x2xy12x120x12()fxf12x所以正确；(2)设 ，则 ，12120x2211122gan xaxx不妨我们设 ，则 ，矛盾，所以(2)错,3a60(3) ，由(1)(2)可得： ，化简得到，mn1212ffgm，也即 ，令1212fxfgxfxfx
11、，即对于任意的 函数 在定义域范围内存在有两个不相等的实haah数根 ， 则 ， ，显然当 时， 恒成立，12lnxh2()lnxh a0hx即 单调递增，最多与 x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误x(4)同理可得 ，设 ，即对于任意的 函数1122fgf2xfga在定义域范围内存在有两个不相等的实数根 ， ，从而 不是恒为单调函数h 1x2h， 恒成立， 单调递增，又 时，2lnxa ln0xh x， 时， 所以 为先减后增的函数，满足要求，所以正确0h三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2015 年四川，理 16】 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和 ，且 ，
12、 ， 成等na12nSa21a3差数列（）求数列 的通项公式；na（）记数列 的前 项和 ，求得使 成立的 的最小值1nT1|0n解：（）当 时有， ，则 ， ，21112()nSaa 12na()12na-=()数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列na1又由题意得 ， ， ，31141n*()N（）由题意得 ， ，则 ，2na1()2()2nn niT21-=nnT（ ）又 ，即 成立时， 的最小值为 109,4510450n10（17） 【2015 年四川，理 17】 （本小题满分 12 分）某市 ， 两所中学的学生组队参加辩论赛， 中学推荐 3ABA名男生，2 名女生， 中学推荐了
13、3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员B的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队（）求 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；A（）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 得分布列和数学期望解：（）设事件 表示“ 中学至少有 1 名学生入选代表队” ，可以采用反面求解：34619()10CP5（）由题意，知 ， ； ；1,23X3146()5CP2346()5CPX1346()5CPX因此 的分布列为：期望为： 13()25EX（18） 【2015 年四川，理 18】 （
14、本小题满分 12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 的中点为 ， 的中点为BCMGHN（）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；（）证明：直线 平面 ；/ND（）求二面角 的余弦值AEG解：（）如下图所示： NMDHCFBAE（）如答图所示，连接 ， 相交于点 ，连接AOM 、 分别为线段 、 的中点， 且OD/CDGH12OCDGHN四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面QNH/HNB/MB（）连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，由三垂线定理可得EGPCPQEQ， 为二面角 的平面角，设正方体棱长为 ，则 ，MA
15、E4a4PCa ， ， ，所以 ，所以2Ca452Ma2tnP，cos3PQ所以 ，即二面角的余弦值为 cos3AEGLK 23（19） 【2015 年四川，理 19】 （本小题满分 12 分）如图， 为平面四边形 的四个内角,ABCDABCD（）证明： ；1tan2si（）若 ， ， ， ， ，求 80oAC6B3C45tanttant22解：（）证明： 2sinsi1costa2incoA（） ， ，180ACsc80,isin180sinCCA ， ，1oscso2tant2iniiniiAA 180oC180oBD3515NDHCGFBEPQ MEA BCDCBADGEHF6同理可得
16、，2tant2sinBD 1tatntatn22siinABCDAB连接 ，设 ，在 和 中分别利用余弦定理及 可得： ，xBCD80ocsoAC即 ，解得 ，从而得 ， 同理可得，226534247x3cos7i7，1cos9B， 60in 11410tanttant2()2()2sini 30679ABAB（20） 【2015 年四川，理 20】 （本小题满分 13 分）如图，椭圆 的离心率是 ，过点 的动2:xyEab2(,)P直线 与椭圆相交于 两点当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为 l,ABlxl（）球椭圆 的方程；E（）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点
17、 ，使得 恒成立？若存在，求出xoyPQABP点 的坐标；若不存在，请说明理由Q解：（）由题知椭圆过点 因此可得： ，解得： ，2,1221ceabac2a2bc椭圆 E 的方程为： 214xy（）假设存在满足题意的定点 当直线 平行于 轴时，则 ， 两点关于 轴对称，Qlx1QAPB,By 点在 轴上不妨设 ，当直线 垂直于 轴时， ，Qy0,a0,2,，解得 或 （舍去，否则 点就是 点） ， 点的坐标为212APAaBB21a P0,2下面我们证明对于一般的直线 ， 也满足题意:lykx0,Q ，由角平分线定理可知， 轴为 的角平分线所以 QAPB ABQABk设 ， ，则 ， ，1,x
18、y2,xy1kx21ykx联立： ，消去 可得， ，24k420由韦达定理可得， ， ，122kx122xk ， ，两式相加得，111QAykk2221QByx，即 ，1212+0Bxkkx QABk7从而，假设成立，即存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立PQAPB（21） 【2015 年四川，理 21】 （本题满分 14 分）已知函数 ，其中 222lnfxaxa0a（）设 是 的导函数，讨论 的单调性；gxf gx（）证明：存在 ，使得 在区间 内恒成立，且 在区间 内有唯一0,1a0f1,0f1,解解：（） ，求导可得， ，222lnfxxa2lnafxx即 ，l 0,g x22 0,a
19、g对于多项式 ，2x（1）当 ，即 时， 恒成立40a142a此时， 恒成立，所以 恒单调递增ggx（2）当 时，一元二次方程 有两个实数根，设为 12012,x那么求根可得： ，141,ax214,ax令 ，即 ，解得： ， 所以 在 ， ，0g20x12xgx10,2,x时单调递增令 ，即 ，解得： ，所以 在 ，时单调递减xax12,综上所述：当 时， 在 上单调递增14agx,当 时， 在 上单调递增， 上单调递014(0,),(,)2a4(,)2a减（） ，由（）可知 在 内单调递增,1afxg1,又 时， ，x1lim1240xfaa 当 时，显然 而 在 是单调递增的，因此在 内
20、必定0ffx,1,存在唯一的 使得 00002lnfx当 时， ，当 时， ，1xfx 在 上单调递减，在 上单调递增， f0(,)0(,)0minfxf由已知条件 在区间 内有唯一解，必有 f1i即 2200002lnfxaxax由式得到 带入式化简得： ，即l 2232005axax，注意这里的 比较容易解出，因此我们可以用 表示 ，解得：200xx a，a2(1)当 时，带入式可得， 01(,)22ln30a即讨是否有解令 ，lha21 0ah8 在 上单调递减又 ，式无解ha1,21302ha(2)当 时， ， ，把 带入式可得，0x010x2x 即讨论是否有解2ln6又设 ， ， ，200()lhx200014hx01, 恒成立， 在 上单调递增 ， x()1,2()4hx2ln0hx 与 轴有交点，从而 在 上有解00ln6,2从而命题得证！
