1、高三数学二轮专题复习教案数列一、本章知识结构：二、重点知识回顾数列的概念及表示方法（）定义：按照一定顺序排列着的一列数（）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法） 、图象法（）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列（） na与 S的关系：1()2nnSa2等差数列和等比数列的比较（）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第 2 项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为 0）的数列叫做等比数列（）递推公式： 110nnadaqnN， ， ，（）通项公式：1()n， ，（）性质等差数列的主
2、要性质：单调性： 0d 时为递增数列， 0d 时为递减数列， 0d时为常数列若 mnpq，则 ()mnpqaanpN， ， ，特别地，当 2mnp时，有 2mnpa ()aN， 232kkkSS， ， ， 成等差数列等比数列的主要性质：单调性：当10aq，或1时，为递增数列；当10aq，或1q时，为递减数列；当 0q时，为摆动数列；当 q时，为常数列若 mnp，则 ()mnpqanN， ， ，特别地，若 2mnp，则2mnpa(0)aqN， ， 232kkkSS， ， ，当 1q时为等比数列；当 1q时，若 k为偶数，不是等比数列若 k为奇数，是公比为 1的等比数列三、考点剖析考点一：等差、等
3、比数列的概念与性质例 1. （2008 深圳模拟）已知数列 .12nSna项 和的 前 （1）求数列 na的通项公式； （2）求数列 |Ta项 和的 前解：（1）当 1,11S时 ；、当 .213)()(222 nnnnn 时，.31的 形 式也 符 合a, aa的 通 项 公 式 为数 列所 以、（2）令 .6,01*n 解 得又 N当2212 1|,6 nSaT nn 时；当 | 761n a时 na 87621.721)12()2(2nnSn综上， .6,712nT点评：本题考查了数列的前 n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意 n时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体
4、现了分类讨论的数学思想例、 （2008 广东双合中学）已知等差数列 na的前 n 项和为 nS，且 35a， 12S. 数列 nb是等比数列，3235,128bab（其中 1,23n）.（I）求数列 n和 的通项公式；（II ）记 ,nnncbcT求 数 列 前 项 和 .解：（I）公差为 d，则 ,25715,a12,1aan故 (,3). 设等比数列 nb的公比为 q，,128,3qb则.2,3qb nq23(1,). （II） )nc235(1),nT.)()(5324 nnnT作差：11222311()2()nn311221() 8nnnn 162(3)n26nT(,3). 点评：本题
5、考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前 n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和例 3.（2008 江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第 n行（ 3）从左向右的第 3 个数为 解：前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即2n个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第2n3 个，即为26点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例 4.（2008 深圳模拟）图（1） 、 （2） 、 （3）
6、、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n个图形包含 ()fn个“福娃迎12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15迎” ，则 (5)f ； ()1)fn解：第 1 个图个数：1第 2 个图个数：1+3+1第 3 个图个数：1+3+5+3+1第 4 个图个数：1+3+5+7+5+3+1第 5 个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1= 41，所以，f（）f(2)-f(1)= ， f()-f()=，f()-f( )=，f()-f( )=()1)nf4()n点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，
7、分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系例 5.（届高三湖南益阳）已知等比数列 na的首项为 31，公比 q满足 10q且 。又已知 1a， 35， 59成等差数列。（1）求数列 na的通项 （2）令 nanb13log，求证：对于任意 nN，都有 1231.nbb（1）解： 159 241109aq40q 0q且 3 13n（2）证明：133loglnannb， 11()nbn 1231.2n1231.nbb点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）
8、问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范围证出不等式。例、(2008 辽宁理) 在数列 |na， |b中，a1=2，b1=4，且 1nnab， ， 成等差数列， 1nnba， ， 成等比数列（ *N）（）求 a2，a3 ，a4 及 b2， b3，b4，由此猜测 |n， |的通项公式，并证明你的结论；（）证明： 12152nabab解：（）由条件得211nn中由此可得22334469605中猜测2(1)()nnab中用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上可得结论成立假设当 n=k 时，结论成立，即 2(1)()kkab中，那么当 n=k+1 时， 22 21 12()(1)()()kkk
9、akkb中所以当 n=k+1 时，结论也成立由，可知2()()nnab中对一切正整数都成立（） 1562bn2 时，由（）知 (1)2(1)nabnn故 12634(1)nab1163415262n综上，原不等式成立点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力例. （2008 安徽理）设数列 na满足3*01,nacNc中为实数（）证明： 0,1na对任意 *N成立的充分必要条件是 01；（）设 3c，证明：1*(3),nnac;（）设10，证明：22*1 ,3nnNc解： (1) 必要性 ： 120,ac ，又 1
10、 ，即 0,1c充分性 ：设 ,c，对 *nN用数学归纳法证明 na当 1n时， 0,a.假设 0,()k则31kkcc，且3110kcc10,ka，由数学归纳法知 ,n对所有 *nN成立(2) 设 103c，当 n时， 10a，结论成立当 2n 时，3 21 11,()nnnnacca 0C,由（1）知 10,na，所以 213n且 10na 3()nac21112(3)(3)(3nnnncacac*()ncN(3) 设 103c，当 时，2103ac，结论成立当 2n时，由（2）知 (3)nnc1212(1)1() ()n nac c 222211 3()(3)nnna 2(13)213n
11、cc点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。考点四：数列与函数、概率等的联系例题. (2008 福建理) 已知函数321()fx.（）设an是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点21(,)nna(nN*) 在函数 y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在 y=f(x)的图象上；（）求函数 f(x)在区间（ a-1,a）内的极值.() 证明：因为321(),fx所以 f(x)=x2+2x,由点21,N)nna在函数 y=f(x)的图象上,又 0(),所以 11(2)0,nnaa所以23=nS,又因为 f(n)=n2+2
12、n,所以 ()nSf,故点 (,)n也在函数 y=f(x)的图象上.()解:2(2)fxx,由 0,得 或 .当 x 变化时, ()fx f的变化情况如下表:注意到 (1)2a,从而当2,1,()()3afxf即 时 的 极 大 值 为,此时 ()fx无极小值；当 10,1,()aafx即 时的极小值为 ()2f,此时()fx无极大值；当 2101,()aafx或 或 时 既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.例 、 （江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
13、（ ） 解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：（ 1）公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1 或-1的有 8 个；（3）公差为 2 或-2 的有 4 个，共有 18 个，成等差数列的概率为 ，选 B点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系例、（广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的 x、y 值依次分别记为 12208,nxx ；12208,nyy （）求数列 x的通项公式 nx；（）写出 y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn；的一个通项公式 yn，并证明你的结论
14、;（）求 12(,208)nnzxyxyN 解：（）由框图，知数列 1nx中 ， ()(*,)nx （）y1=2，y2=8，y3=26 ， y4=80.由此，猜想 31(,208).nyN证明：由框图，知数列yn中，yn+1=3yn+2 )(1nn13,.ny数列yn+1是以 3 为首项，3 为公比的等比数列。x (-,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+)f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 ny+1=33n1=3n =3n1（ *,208Nn） （）zn= nyxyx2=1（31）+3（321）+ +（2n1） （3n1）=13+332+（2n1）3n1+3+（2n1）
15、记 Sn=13+332+（2n 1）3n， 则 3Sn=132+333+（2n 1）3n+1 ，得2Sn=3+232+233+2 3n（2n1）3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）3n+1=213)2()(nn=13)2(6n63)(1n .)1(nnS又 1+3+（2n1）=n22()3(*,208)nnzNn.点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。四、方法总结与 2009 年高考预测（一）方法总结1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系
16、式求通项。2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2009 年高考预测1. 数列中 nS与 a的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意 nS与 a的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2. 探索性问题在数列中考查较多，试
17、题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。、数列与程序框图的综合题
18、应引起高度重视。五、复习建议在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想 )解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用； 4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 6掌握数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲
