1、第一单元 小数除法1.小数除法的意义：与整数除法的意义相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另个因数的运算。2.小数除法的计算法则：（1）除数是整数： 按照整数除法的法则去除； 商的小数点要和被除数的小数点对齐（重点！） 每一位商都要写在被除数相同数位的上面。 如果除到末尾仍有余数，在被除数的个位数的右边点上小数点，再在被除数的后面添上“0”继续除，直到除尽为止。 除得的商的哪一数位上不够商，就在那一位上写 0 占位。（2）除数是小数： 先看除数中有几位小数，就把除数和被除数的小数点向右移动相同的位置，使除数变成整数，当被除数数位不够时，用 0 补足； 然后按照除数是整数的小数除法计算。3
2、、商不变的规律：被除数扩大 a 倍（或缩小） ，除数也扩大（或缩小）a 倍，商不变。简言之，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍数，商不变。4、被除数不变，除数扩大（或缩小）a 倍，商缩小（或扩大）a 倍。被除数扩大（或缩小）a 倍，除数不变，商扩大（或缩小）a 倍。5、被除数比除数大的，商大于 1。 被除数比除数小的，商小于 1。6、一个数（0 除外）除以 1，商等于原来的数。 （一个数除以 1，还等于这个数）一个数（0 除外）除以大于 1 的数，商比原来的数小。一个数（0 除外）除以小于 1 的数，商比原来的数大。0 除以一个非零的数还得 0 。0 不能作除数。7、汉语表达 A 除以
3、B A 除 B A 去除 B A 被 B 除列式 AB BA BA AB8、近似值相关知识点：（1）求商的近似值：计算时要比保留的小数多一位。求积的近似值：计算出整个积的值后再去近似值。（2）取商的近似值的方法：“四舍五入”法、 “进一法”和“去尾法”在解决问题的时候，可以根据实际情况选择“进一法”和“去尾法”取商的近似值。（3）保留商的近似值，小数末尾的 0 不能去掉。9、循环小数相关知识点：（1）小数分类：可以分为无限小数和有限小数。小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分是无限的小数叫做无限小数。循环小数就是无限小数中的一种。（2）循环小数的定义：一个数的小数部分，从某一位起，
4、一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。（3）循环小数必须满足的条件： 必须是无限小数； 一个数字或者几个数字依次不断重复出现。（4）循环节的定义：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的一个数字或者几个数字，叫做这个循环小数的循环节。如 5.33循环节是3。7.14545的循环节是 45。（5）循环小数的记法： 省略后面的“”号； 在第一个循环节首尾的数字上分别加点。如：5.33=5.3（3 上面有一个点） ，读作五点三，三的循环 7.14545=7.145（4 和 5 上面分别有一个点） ,读作七点一四五，四五的循环。（6）循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循
5、环小数。10、竖式中的小数点和数位的对齐方式：在加法和减法中，必须小数点对齐；在乘法中，要末尾对齐；在除法时，商的小数点要和被除数的小数点对齐。11、除法性质：abc=a(bc)推广： (ab)c=acbc 或 (ab)c=acbc第二单元 轴对称和平移具体目标：（1）图形的平移通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。能按要求作出简单平面图形平移后的图形。利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。（2）图形的旋转通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。了解平行四边形、圆是中
6、心对称图形。能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。欣赏旋转在现实生活中的应用。探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。（3）图形的轴对称通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。三、知识考点梳理知识点一、
7、平移1、平移概念：把一个图形整体沿一方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。2、平移变换的性质对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连结的线段平行且相等，因为经过平移，图形的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，平移变换前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形（四点共线除外）.对应角分别相等，且对应角的两边分别平行，方向一致.平移后的图形与原图形全等，因为平移只改变图形位置，不改变图形的形状和大小.3、平移作图步骤确定平移的方向和距离；根据对应点的连线平行（或在一条直线上）且相等作出图形各关键点的对应点；按原图形的连结方式顺次连结各点.知识点二、旋转1
8、、旋转概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点。中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.3、旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线
9、段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.4、旋转作图步骤分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点.5、中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至 2倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.知识点三、轴对称1、轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称
10、，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点。轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2、轴对称变换的性质关于直线对称的两个图形是全等图形.如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3、轴对称作图步骤找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至 2 倍，得到各点的对称点。按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.综上：1、图形变换与图案设计的基本步骤确定
11、图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案。2、平移、旋转和轴对称之间的联系一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的 2 倍.第三单元 倍数与因数1、整除：被除数、除数和商都是 自然数 ，并且 没有余数 。大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。找因数的方法：一个数的因数的 个数 是 有限 的，其中最小的因数是 1，最大的因数是 它本身 。一个数的倍数的 个数 是 无限 的，最小的倍数
12、是 它本身 。2、自然数按能不能被 2 整除来分：奇数、偶数奇数：不能被 2 整除的数。偶数：能被 2 整除的数。最小的奇数 是 1， 最小的偶数 是 0. 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。能 同时被 2、3、5 整除 的 最大的两位数 是 90， 最小的三位数 是 120。3、自然数按因数的个数来分：质数、合数质数：有且只有 两个因数 ， 1 和 它本身合数：至少有三个因数， 1、 它本身 、 别的因数1： 只有 1 个因数。 “1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是
13、 2，最小的合数是 4。20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19）100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、974、分解质因数用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）5、公因数、最大公因数几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。 两数互质的特殊情况：1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两
14、个质数一定互质；2 和所有奇数互质； 质数与比它小的合数互质；如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数。6、公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。7、因数和倍数的关系例如：26=122 和 6 是 12 的因数，12 是 2 和 6 的倍
15、数。【知识点 1】因数与倍数之间的关系是相互的，不能单独存在。只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。不能说谁是因数，谁是倍数。例如：2.56=152.5 和 6 是 15 的因数，15 是 2.5 和 6 的倍数。( )这句话是错误的。【知识点 2】在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是非 0 的整数。（不包括小数、分数）例如：36 的因数有（ ） 。【知识点 3】确定一个数的所有因数，我们应该从 1 的乘法口诀依次找出。如：136=36、218=36、312=36、49=36、66=36因此 36 的所有因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。【知识点 4】重复的和相同的只算一个因
16、数。【知识点 5】一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是 1，最大的因数是它本身。例如：7 的倍数（ ） 。【知识点 6】确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：17=7、27=14、37=21、47=28、57=35因此 7 的倍数有：7、14、21、28、35、42【知识点 7】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。【知识点 8】有前提条件的情况下确定倍数与因数第四单元 多边形的面积1、长方形面积=长宽 字母公式：s=ab长方形周长=(长宽)2 字母公式：c=(ab)2（长=周长2-宽； 宽=周长2-长）长方形中面积、周长与长和宽之间的变化关系：（1）长方
17、形的长加宽等于长方形周长的一半。即 a + b = c 2（2）当长方形的周长不变时，长与宽的差越大，这个长方形的面积就越小；反之，长与宽的差越小，这个长方形的面积就越大。（3）当长方形的面积不变时，长与宽的差越大，这个长方形的周长就越长；长与宽的差越小，这个长方形的周长就越短。（4）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。2、正方形面积=边长边长 字母公式：s= a或者 s=aa正方形周长=边长4 字母公式：c=4a 或者 c= a43、平行四边形面积=底高 字母公式：s=ah 平行四边形面积公式的推导过程：剪拼、平移 沿着平行四边形的任意一条高剪开，将其一部分平移与另一部分正好拼成一
18、个长方形，这个长方形的长就是平行四边形的底，这个长方形的宽就是平行四边形的高。因为长方形的面积=长宽，所以平行四边形的面积=底高，用字母表示 S=ah。等底等高的平行四边形面积相等。4、三角形面积=底 高2 字母公式：s=ah2（底=面积2高； 高=面积2底 ）三角形面积公式的推导过程： 旋转、平移 将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底就是三角形的底，拼成的平行四边形的高就是三角形的高，拼成的平行四边形的面积是三角形面积的 2 倍。一个三角形的面积是这个平行四边形的面积一半。因为平行四边形的面积等于底高，所以三角形的面积等于底高2。用字母表示 S=ah2。 等底等高的
19、三角形面积相等。等底等高的三角形和平行四边形面积关系：等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2 倍；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。5、梯形面积=(上底下底)高2 字母公式：s=(ab)h2（上底=面积2高下底； 下底=面积2高-上底； 高=面积2（上底+下底） ）梯形面积公式的推导过程： 旋转、平移将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的 2 倍，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。因为平行四边形的面积=底高，所以梯形的面积=（上底下底）高2 用字母表示 S=（
20、ab）h2.6、计算圆木、钢管等的根数： (顶层根数+底层根数)层数27、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。8、有关规律：在平行四边形里画一个最大的三角形，这个三角形的面积等于这个平行四边形面积的一半。用细木条钉成一个长方形框架，如果把他拉成一个平行四边形，则它的周长不变，面积变小了，因为底不变，高变小了；如果将平行四边形框架拉成一个长方形，则他们的周长不变，面积变大了。1 三角形和平行四边形面积相等时，若高相等，则三角形的底是平行四边形的 2 倍，平行四边形的底是三角形的一半。2 三角形和平行四边形的面积相等时，若底相等，则三角形的高是平行四边形的 2 倍，平行四边形的高是
21、三角形的一半。3 三角形和平行四边形等底等高时，则三角形的面积是平行四边形的一半，平行四边形的面积是三角形的 2 倍。在直角三角形中，斜边最长。第五单元 分数的意义分数的意义1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。被除数除数 = 用字母表示：ab= （b0）。除 数被 除 数 ba4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。二、真分数和假分数1、真分数和假分数： 分子比分母小的分数叫
22、做真分数，真分数小于 1。 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于 1 或等于1。 由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。2、假分数与带分数的互化： 把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。三、分数的基本性质1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。四、约分1、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：所有的公因数都是最大公因数
23、的因数，最大公因数是它们的倍数。3、互质数：公因数只有 1 的两个数叫做互质数。4、两个数互质的特殊判断方法： 1 和任何大于 1 的自然数互质。 2 和任何奇数都是互质数。 相邻的两个自然数是互质数。 相邻的两个奇数互质。 不相同的两个质数互质。当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。5、求最大公因数的方法： 倍数关系： 最大公因数就是较小数。 互质关系： 最大公因数就是 1 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。6、最简分数：分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数。7、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）五、通分
