1、工程问题工程问题基本数量关系式：（1）一般公式：工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间工作总量 工作时间工作效率（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；一般给出工作时间，就可以知道工作效率为 ,工 作 时 间11单位时间能完成的几分之几=工作时间。如果可以给出工作效率是 ，a1就可以知道工作时间为 a.一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体 . 例 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ .
2、例 2 一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ . 例 3 某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48 天完成.现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ . 例 4 一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？例 5 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在他
3、们两队一起做，其间甲队休息了 3 天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？ 例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ . 例 7 一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天，如果两人合作，他 要 8 天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 二、多人的工程问题
4、 我们说的多人，至少有 3 个人，当然多人问题要比 2 人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多. 例 9 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 例 10 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 例 11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天完成. 如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙
5、两人合作 1 天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 例 12 某项工作，甲组 3 人 8 天能完成工作，乙组 4 人 7 天也能完成工作.问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？ 例 13 制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要 8 天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个.问丙车间制作了多少个零件？ . 例 14 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙
6、开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完 .问丙帮助甲、乙各多少时间？ 3、水管问题 从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率. 至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例 15 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池. 已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 例 16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
7、打开其中若干根水管，经过预定的时间的 1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开 10 根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？例 17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需 3 小时，单开丙管需要 5 小时. 要排光一池水，单开乙管需要 4 小，丁管需要 6 小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开 1 小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 例 18 一个蓄水池，每分钟流入 4 立方米水. 如果打开 5 个水龙头，2 小时半就把水池水放空，如果打开 8 个水龙头，1
8、小时半就把水池水放空.现在打开 13 个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 例 19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开 A 管，8 小时可将满池水排空，打开 C 管， 12 小时可将满池水排空.如果打开 A，B 两管，4 小时可将水排空.问打开 B，C 两管，要几小时才能将满池水排空？ . 例 20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草；21 头牛 9 星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场的草？“牛吃草” 这一类型问题可以以各种各样的面目出现. 限于篇幅，我们只再举一个例子. 例 21 画展 9 点开门，但早有人排队等候入场.从第
9、一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队，如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队.问第一个观众到达时间是 8 点几分？ 例 22.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？ 例 1 答：乙需要做 4 天可完成全部工作. 解二：9 与 6 的最小公倍数是 18.设全部工作量是 18 份. 甲每天完成 2 份，乙每天完成3 份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 3） 3= 4（天）
10、. 解三：甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了 3 天，相当于乙做了 2 天.乙完成余下工作所需时间是 6-2=4（天）例 2 解：共做了 6 天后， 原来，甲做 24 天，乙做 24 天， 现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天. 这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 如果甲独做，所需时间是 答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天例 3 解：先对比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天； 甲做 48 天，乙做 48 天. 就知道甲少做 63-48=15（天） ，乙要多做 48-28=20（天）
11、，由此得出甲的 甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天） ，相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 （天）. 答：乙还需要做 56 天例 4 解一：甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 答：从开始到完工共用了 11 天. 解二：设全部工作量为 30 份. 甲每天完成 3 份，乙每天完成 1 份.在甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天之后，还需两队合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 解三：甲队做 1 天相当于乙队做 3 天. 在甲队单独做 8 天后
12、，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量. 相当于乙队要做23=6（天） .乙队单独做 2 天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1 ， 其中 3 天可由甲队 1 天完成，因此两队只需再合作 1 天.例 5 解一：如果 16 天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了 5 天半. 解二：设全部工作量为 60 份. 甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲
13、队做 2 天，相当于乙队做 3 天. 甲队休息 3 天，相当于乙队休息 4.5 天. 如果甲队 16 天都不休息，只余下甲队 4 天工作量，相当于乙队 6 天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5 （天）. 例 6 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为 60 份（15 与 20 的最小公倍数） ，张每天完成 4 份，李每天完成 3 份. 8 天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48 ）份. 由张、李合作需要 （60-48）（4+3 ）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：这两项工作都完成最少需要 12 天解
14、：设这项工程的工作量为 30 份，甲每天完成3 份，乙每天完成 2 份. 两人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份） . 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在 8 天内完成，所以两人合作的天数是 （30-38）（4.2-3）=5 （天）. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼 ”型问题.解：乙 6 小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作 6 小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要 33 小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化” 的处理. 但是， “整数化 ”并不
15、能使所有工程问题的计算简便.例 8 就是如此.例 8 也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举.解：设这件工作的工作量是 1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要 90 天完成.例 9 也可以整数化，设全部工作量为 180 份，甲、乙合作每天完成 5 份，乙、丙合作每天完成 4 份，甲、丙合作每天完成 3 份.请试一试，计算是否会方便些？解：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 32=6（天）. 说明甲做了 2 天，乙做了 23=6（天） ，丙做 26=12(天） ，三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成
16、这项工作用了 20 天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数 72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了解：丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍） ，甲、乙合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍. 他们共同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要 26 天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 321，就知甲做 1 天，相当于乙、丙合作 1 天. 三人合作需
17、 13 天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做 13天来完成. 解一：设这项工作的工作量是 1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组 2 人和乙组 7 人每天能完成 答：合作 3 天能完成这项工作. 解二：甲组 3 人 8 天能完成，因此 2 人 12 天能完成；乙组 4 人 7 天能完成，因此 7人 4 天能完成. 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做 12 天，乙组独做 4 天，问合作几天完成？ 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数. 解一：仍设总工作量为 1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间
18、制作的零件数目是 答：丙车间制作了 4200 个零件. 解二：10 与 6 最小公倍数是 30.设制作零件全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成 2 份. 乙、丙一起，8 天完成. 乙完成 82=16（份） ，丙完成 30-16=14（份） ，就知 乙、丙工作效率之比是 1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400 （12- 8） 7= 4200（个）解：设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2，
19、所需时间是 答：丙帮助甲搬运 3 小时，帮助乙搬运 5 小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运 （60- 6 8） 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运 （60- 5 8）4= 5（小时）. 解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容积是：0.6（ 1/15-2/45）=27（立方米）答：水池容积是 27 立方米
20、.分析：增开水管后，有原来 2 倍的水管，注水时间是预定时间的 1-1/3=2/3，2/3 是 1/3 的2 倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的 4 倍。 设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4 ，那么预定时间的 1/3（即前一段时间）的注水量是 1/（1+4）=1/5。10 根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是 1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是 1/101/3=1/30要注满水池的 1/5，需要水管 1/51/30=6（根）解：前后两段时间的注水量之比为：1：（1-1/3）1/32=1：4前段时间注水量是：1（1+4 ）=1
21、/5每根水管在预定 1/3 的时间注水量为： 1101/3=1/30开始时打开水管根数：1/51/30=6（根）答：开始时打开 6 根水管。分析：，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以后（20 小时） ，池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井 ”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬 30 尺才能到达井口，每小时它总是爬 3 尺，又滑下 2 尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 看起来它每小时只往上爬 3- 2= 1（尺） ，但爬了 27 小时后，它再爬 1 小时，往上爬了 3 尺已到达井口. 因此，答案是 28 小时，而不是 30 小时.解：先计算 1 个水龙头每分钟放出水量
22、. 2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 60= 240（立方米） . 时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米） ， 8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 8 90， 其中 90 分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 813，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分钟）. 答：打开 13 个龙头，放空水池要 54 分钟. 水池中的水，有两部分，原存有水
23、与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的 .解：设满水池的水量为 1. A 管每小时排出 A 管 4 小时排出 因此，B，C 两管齐开，每小时排水量是 B，C 两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 答： B， C 两管齐开要 4 小时 48 分才将满池水排完 . 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆. 事实上，也可以整数化，把原有水设为 8 与 12 的最小公倍数 24.解：吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头数 星期数.根据这一计算公
24、式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位 . 原有草+4 星期新长的草 =124. 原有草+9 星期新长的草 =79. 由此可得出，每星期新长的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者 124-34）. 对第三片牧场来说，原有草和 18 星期新长出草的总量是 这些草能让 907.218=36（头） 牛吃 18 个星期. 答：36 头牛 18 个星期能吃完第三片牧场的草.例 20 与例 19 的解法稍有一点不一样. 例 20 把“ 新长的”具体地求出来，把“原有的” 与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例 19 再有一个条件，例如： “打开
25、B 管，10 小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的” 与“原有的”之间数量关系 .但仅仅是例 19 所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？ 解：设一个入场口每分钟能进入的观众为 1 个计算单位. 从 9 点至 9 点 9 分进入观众是 39， 从 9 点至 9 点 5 分进入观众是 55. 因为观众多来了 9-5=4（分钟） ，所以每分钟来的观众是 （39-55）（9-5 ）=0.5. 9 点前来的观众是 55-0.55=22.5. 这些观众来到需要 22.50.5=45（分钟）. 答：第一个观众到达时间是 8 点 15 分.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。
26、甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的 3/10，两队单独挖各需几天？分析: 甲乙合作 1 天后,甲又做了 2 天共 3/10-1/6=4/30 2(3/10-1/6) =24/30 =15(天) 1(1/6-1/15)=10(天) 答:甲单独做要 15 天,乙单独做要 10 天 .解设:规定时间为 X 天.(甲单独要 X-2 天,乙单独要 X+3 天 ,甲一共做了 2 天,乙一共做了 X 天) 1/(X-2)2 + X/(X+3)=1 X=12 规定要 12 天完成 11/(12-2)+1/(12+3) =1(1/6) =6 天 答:两人合作完成要 6 天. 例：一项工程，甲单独做 63 天，再由乙做 28 天完成，甲乙合作需要 48 天完成。甲先做 42 天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为 x,乙的工效为 y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）（1/112）=56（天）
