1、 第 1 页 共 10 页第二章 直线与平面的位置关系 测试题一、选择题1设 ， 为两个不同的平面， l， m 为两条不同的直线，且 l ， m，有如下的两个命题： 若 ，则 l m； 若 l m，则 那么( )A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题C都是真命题 D都是假命题2如图， ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )A BD平面 CB1D1B AC1 BDC AC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1角为 603关于直线 m， n 与平面 ， ，有下列四个命题： m ， n 且 ，则 m n； m ， n 且 ，则 m n； m ， n 且 ，则 m n；
2、 m ， n 且 ，则 m n其中真命题的序号是( )A B CD4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1， l2与同一平面所成的角相等，则 l1， l2互相平行若直线 l1， l2是异面直线，则与 l1， l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是( )A1 B2 C3 D45下列命题中正确的个数是( )(第 2 题)第 2 页 共 10 页若直线 l 上有无数个点不在平面 内，则 l 若直线 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线
3、 l 与平面 平行，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面( )A不存在 B有唯一的一个 C有无数个 D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A， B， C， D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( )A90 B60 C45D30 8下列说法中不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直
4、线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )第 3 页 共 10 页A4 B3 C2 D110异面直线 a， b 所成的角 60，直线 a c，则直线 b 与 c 所成的角的范围为( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空题11已知三棱锥 P ABC 的三条侧棱 PA，
5、 PB， PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 S1， S2， S3，则这个三棱锥的体积为 12 P 是 ABC 所在平面 外一点，过 P 作 PO平面 ，垂足是O，连 PA， PB， PC(1)若 PA PB PC，则 O 为 ABC 的 心；(2)PA PB， PA PC， PC PB，则 O 是 ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB， BC， CA 的距离相等，则 O 是 ABC 的 心；(4)若 PA PB PC， C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PA PB PC， AB AC，则点 O 在 ABC 的 线上13如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F
6、 分别为各边的中点， G， H， I， J 分别为 AF， AD， BE， DE的中点，将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 14直线 l 与平面 所成角为 30， l A，直线 m ，则 m 与 l所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1， d2， d3， d4，则 d1 d2 d3 d4的值为 16直二面角 l 的棱上有一点 A，在平面 ， 内各有一J(第 13 题)第 4 页 共 10 页条射线 AB， AC 与 l 成 45， AB ， AC ，则 BAC 三、解答题17在
7、四面体 ABCD 中， ABC 与 DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证： BC AD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角 A BC D 的正弦值；(3)设二面角 A BC D 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体 A BCD 的体积最大(不要求证明)18 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2， BB1 BC1， E 为 D1C1的中点，连结 ED， EC， EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 E DB C 的正切值.(第 17 题)第 5 页 共 10 页19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD 中，AD BC
8、， ABC90，SA面 ABCD， SA AB BC， AD 21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值(提示：延长 BA， CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱.)(第 19 题)(第 18 题)第 6 页 共 10 页20*斜三棱柱的一个侧面的面积为 10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第 20 题)第 7 页 共 10 页第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线
9、n，l ， m ，且 l n， m n，则 m l，显然平面不垂直平面 ，( 第 1 题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D 解析：异面直线 AD 与 CB1角为 453D 解析：在、的条件下， m， n 的位置关系不确定4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D5B解析：学会用长方体模型分析问题， A1A有无数点在平面 ABCD 外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确； A1B1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于BD，不正确； A1B1 AB， A1B1平面 ABCD，但 AB平面 ABCD 内，不正确； l 与平面 平行，则l 与 无公共点， l 与平面
10、 内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B (第 5 题)6B 解析：设平面 过 l1，且 l2 ，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ， 与 的交线 l3 l2，且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C 解析：当三棱锥 D ABC 体积最大时，平面 DAC ABC，取 AC 的中点O，则 DBO 是等腰直角三角形，即 DBO458D 解析：A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书
11、本的书脊垂直放在桌上就明确了第 8 页 共 10 页9B 解析：因为正确，故选 B10A 解析：异面直线 ， 所成的角为 60，直线 ，过空间任一点 abcaP，作直线 a a， b b， c c. 若 a， b， c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 与 所成的角的范围为 (30，90，所以直线 b与 c 所成角的范围为30，90 二、填空题11 解析： 设三条侧棱长为 a， b， c3132S则 ab S1， bc S2， ca S3 三式相乘：1 a2 b2 c2 S1S2S3，8 abc 2 321 三侧棱两两垂直， V abc 323321S12外，垂，内，中， BC边的垂直平
12、分解析：(1)由三角形全等可证得 O 为 ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得， O 为 ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得， O 为 ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得， O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知， O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在 BAC 的平分线上1360解析：将 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后， GH 与 IJ 所成角的度数为 601430，90解析：直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 l m，即 m 与 l 所成角的的最大值为 901
13、5 解析：作等积变换： (d1 d2 d3 d4) h，而3643131h 1660或 120解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能 三、解答题第 9 页 共 10 页17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO， DO ABC， BCD 都是边长为 4 的正三角形， AO BC， DO BC，且 AO DO O， BC平面 AOD又 AD 平面 AOD， BC AD (第 17 题)解：(2)由(1)知 AOD 为二面角 A BC D 的平面角，设 AOD ，则过点 D 作 DE AD，垂足为 E BC平面 ADO，且 BC 平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 A
14、BC AO， DE平面 ABC线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3又 DO BD2 ，3在 Rt DEO 中，sin ，OE23故二面角 A BC D 的正弦值为 (3)当 90时，四面体 ABCD 的体积最大18证明：(1)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， BB1 BC1， E 为 D1C1的中点 DD1E 为等腰直角三角形， D1ED45同理 C1EC45，即 DE EC90DEC在长方体 ABCD 中， BC平面 ，又 DE 平面 ，1CBA11 BC DE又 ， DE平面 EBC平面 DEB 过 DE，平面EDEB平面 EBC(2)解：如图，过
15、 E 在平面 中作1DCEO DC 于 O在长方体 ABCD 中，面1BAABCD面 ， EO面 ABCD过 O 在平面1DCDBC 中作 OF DB 于 F，连结EF， EF BD EFO 为二面角 E DB C 的平面角利用平面几何知识可得第 10 页 共 10 页OF ， (第 18 题)51又 OE1，所以，tan EFO 519*解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 ，ABDC)(214312四棱锥 SABCD 的体积是 V SAM 底面 1 334(2)如图，延长 BA， CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 AD BC， BC2 AD， EA A
16、B SA， SE SB SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC， EB 是交线又 BC EB， BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB上的射影， CS SE， BSC 是所求二面角的平面角 SB ， BC1， BC SB，2ABStan BSC ， (第 19 题)C即所求二面角的正切值为 220*解：如图，设斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面BB1C1C 的面积为 10， A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6，在AA1上取一点 P 作截面 PQR，使 AA1截面PQR， AA1CC 1，截面 PQR侧面 BB1C1C，过 P 作PO QR 于 O，则 PO侧面 BB1C1C，且 PO6 V 斜 S PQRAA1 QRPOAA12 POQRBB12 10630 (第 20 题)
