1、二次函数压轴题解题思路一、基本知识1 会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。二、典型例题：（一） 求解析式（2014 兰州）把抛物线 y=2x 2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=2（x+1 ） 2+2 By=2（x+1 ） 22 Cy=2（x1） 2+2 Dy=2（x1） 22（二） 二次函数的相关应用第一类：面积问题1.（2014兰州）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x
2、 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1 ，0） ，C（0 ，2） （1）求抛物线的表达式；（3）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标k | B | 1 . c |O |m第二类：.构造问题（1）构造线段2.（2013莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限
3、部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；解：（1）把 A（3 ，0） 、 B（1，0） 、C（2，1）代入 得，解得 。抛物线的表达式为 。（2）将 x=0代入抛物线表达式，得 y=1点 M的坐标为（ 0，1 ） 。设直线 MA的表达式为 y=kx+b，则 ，解得 。直线 MA的表达式为 。设点 D的坐标为 ，则点 F的坐标为 。 。当 时， DF的最大值为 。此时 ，即点 D的坐标为 。（3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似。设 P ，在 RtMAO中， AO=3MO，要使两个三角形
4、相似，由题意可知，点 P不可能在第一象限。设点 P在第二象限时， 点 P不可能在直线 MN上，只能 PN=3NM。 ，即 ，解得 m=3 或 m=8 。此时 3m 0，此时满足条件的点不存在。当点 P在第三象限时，点 P不可能在直线 MN上， 只能 PN=3NM。 ，即 ，解得 m=3（舍去）或 m=8。当 m=8 时， ，此时点 P的坐标为（8 ，15） 。当点 P在第四象限时，若 AN=3PN时，则 ，即 m2+m6=0 。解得 m=3（舍去）或 m=2。当 m=2时， ，此时点 P的坐标为（2 ， ） 。若 PN=3NA，则 ，即 m27m30=0。解得 m=3（舍去）或 m=10。当
5、m=10时， ，此时点 P的坐标为（10，39） 。综上所述，满足条件的点 P的坐标为（ 8，15） 、 （2， ） 、 （10，39） 。（2）构造相似三角形3.（2013莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y= ） （3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由（2013莱芜）解：由题意可知 解得 抛物线的表达式为 y= （2）将 x=0 代入抛物线表
6、达式，得 y=1点 M 的坐标为（0，1） 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 解得 直线 MA 的表达式为 y= x+1设点 D 的坐标为（ ） ，则点 F 的坐标为（） DF= = 当 时，DF 的最大值为 此时 ，即点 D 的坐标为（ ） （3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似设 P（m， ） 在 RtMAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM， ，即 m2+11m+24=0解得 m=3（舍去）或m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在当
7、点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM， ，即m2+11m+24=0解得 m=3 或 m=8此时点 P 的坐标为（8，15） 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则3 ，即 m2+m6=0解得 m=3（舍去）或m=2当 m=2 时， 此时点 P 的坐标为（2， ） 若 PN=3NA，则 ，即 m27m30=0解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，39） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（8，15） 、 （2， ） 、（10，39） （3）构造平行四边形4.（2014莱芜）如图，过 A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂
8、线，分别交直线y=4x 于 C、D 两点抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C 、D 三点 （1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C 、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（2014莱芜）解：（1）由题意，可得 C（1，3） ，D（3，1） 抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx ，解得 ，抛物线的表达式为：y= x2+ x（2）存在设直线 OD 解析式为 y=kx，将 D（3，1）代入求得 k= ，直线 OD 解析式
9、为 y= x设点 M 的横坐标为 x，则 M（x， x） ，N（x， x2+ x） ，MN=|y MyN|=| x（ x2+ x）|=| x24x|由题意，可知MN AC，因为以 A、C 、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MN=AC=3| x24x|=3若 x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x= 或 x= ；若 x24x=3，整理得：4x 212x+9=0，解得：x= 存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为： 或 或 （4）构造等腰三角形5.（2013泰安）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，-4） ，与 x 轴交1于点 A，B，且 B 点的
10、坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE面积的最大值 （3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标解：（1）把点 C（0，4 ），B（2 ，0）分别代入 中，得 ，解得 。该抛物线的解析式为 。（2）令 y=0，即 ，解得 x1=4，x 2=2。A（4，0）， SABC= ABOC=12。设 P点坐标为（ x，0），则 PB=2x。PEAC，BPE=BAC，BEP=BCA 。PBEABC。 ，即 ，化简得： 。当 x=1 时，S PC
11、E的最大值为 3。（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：当 DM=DO时，如图所示，DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45。ADM=90。M点的坐标为（2，2）。当 MD=MO时，如图所示，过点 M作 MNOD 于点 N，则点 N为 OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形， MN=AN=3。M点的坐标为（1，3）。当 OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点 O到 AC的距离为 4= ，即 AC上的点与点 O之间的最小距离为 。 2，OD=OM 的情况不存在。综上所述，点 M的坐标为（2，2）或（1，3）。（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。（3）OMD 为等腰三角形，分 DM=DO，MD=MO，OD=OM 三种情况讨论即可。（5）构造直角三角形6.（2014四川内江） 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3.0） 、C（0，4） ，点 B在抛物线上，CBx 轴，且 AB 平分CAO （1）求抛物线的解析式；（2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由
