1、小 学 数 学 思 维 训 练 “十 佳 题 ”( 1)1、 有 黑 、 白 棋 子 一 堆 , 黑 子 个 数 是 白 子 个 数 的 2 倍 。 现 在 从这 堆 棋 子 中 每 次 取 出 黑 子 4 个 , 白 子 3 个 , 待 到 若 干 次 后 , 白子 已 经 取 尽 , 而 黑 子 还 有 16 个 。 求 黑 、 白 棋 子 各 有 多 少 个 ?( 假 设 思 维 )【 分 析 与 解 答 】 假 设 每 次 取 出 的 黑 子 不 是 4 个 , 而 是 6 个( 6=32) , 也 就 是 说 每 次 取 出 的 黑 子 个 数 也 是 白 子 的 2 倍 。由 于
2、这 堆 棋 子 中 黑 子 个 数 是 白 子 的 2 倍 , 所 以 , 待 取 到 若 干 次后 , 黑 子 、 白 子 应 该 都 取 尽 。 但 是 实 际 上 当 白 子 取 尽 时 ,( 留 下 ) 黑 子 还 有 16 个 , 这 是 因 为 实 际 每 次 取 黑 子 是 4 个 ,和 假 定 每 次 取 黑 子 6 个 相 比 , 相 差 ( 留 下 的 是 ) 2 个 。 由 此 可知 , 一 共 取 的 次 数 是 : 162=8( 次 ) 。 白 棋 子 的 个 数 为 :38=24( 个 ) 。 黑 棋 子 的 个 数 为 242=48( 个 ) 。2、 小 华 解
3、答 数 学 判 断 题 , 答 对 一 题 给 4 分 , 答 错 一 题 扣 4分 , 她 答 了 20 道 判 断 题 , 结 果 只 得 56 分 。 小 华 答 对 了 几 题 ?( 假 设 思 维 ) 【 分 析 与 解 答 】 假 设 小 华 全 部 答 对 : 该 得 420=80( 分 ) ,现 在 实 际 只 得 了 56 分 , 相 差 80-56=24( 分 ) , 因 为 答 对 一 题得 4 分 , 答 错 一 题 扣 4 分 , 这 样 , 一 对 一 错 相 比 , 一 题 就 差8 分 ( 4+4=8) , 根 据 总 共 相 差 的 分 数 以 及 做 错 一
4、 题 相 差 的 分 数 ,就 可 以 求 出 做 错 的 题 数 : 248=3( 题 ) , 一 共 做 20 题 , 答错 3 题 , 答 对 的 应 该 是 : 20-3=17( 题 ) 417=68( 分 )( 答 对 的 应 得 分 ) 43=12( 分 ) ( 答 错 的 应 扣 分 ) 68-12=56( 分 ) ( 实 际 得 分 )3、 一 个 化 肥 厂 计 划 在 50 天 内 生 产 一 批 化 肥 , 从 前 24 天 的 生产 情 况 看 , 每 天 实 际 生 产 的 化 肥 没 有 达 到 原 计 划 每 天 产 量 指 标 , 因 此工 厂 决 定 停 产
5、3 天 进 行 整 顿 。 整 顿 之 后 , 每 天 比 整 顿 前 多 生 产 化 肥25 吨 , 结 果 只 用 了 49 天 ( 包 括 停 产 整 顿 所 用 的 3 天 时 间 )就 完 成 了 原 计 划 50 天 的 生 产 任 务 。 已 知 整 顿 后 比 整 顿 前 一 共 多 生产 化 肥 400 吨 , 问 整 顿 前 后 各 生 产 化 肥 多 少 吨 ? ( 因 果 关 系 )【 分 析 与 解 答 】 我 们 容 易 算 出 整 顿 后 生 产 的 天 数 是 : 49-24-3=22( 天 ) 。 由 于 整 顿 后 每 天 比 整 顿 前 多 生 产 化 肥
6、 25 吨 ,所 以 , 一 共 多 生 产 化 肥 2225=550( 吨 ) 。 可 题 目 中 却 说 整 顿后 比 整 顿 前 一 共 多 生 产 化 肥 400 吨 , 这 岂 不 是 “自 相 矛 盾 ”吗 ?究 竟 “矛 盾 ”出 在 哪 里 呢 ? 原 来 , 我 们 刚 才 算 出 的 “550 吨 ”是 整 顿 后 22 天 比 整 顿 前 22 天 多 生 产 的 化 肥 ; 而 题 目 中 告 诉 我 们的 “400 吨 ”是 整 顿 后 22 天 比 整 顿 前 24 天 多 生 产 的 化 肥 。 这完 全 是 两 码 事 , 所 以 “550 吨 ”与 “400
7、吨 ”并 不 矛 盾 。 从 上 面的 比 较 中 , 我 们 看 出 : “550 吨 ”与 “400 吨 ”的 差 150 吨 正好 是 整 顿 前 2 天 的 产 量 , 因 此 , 整 顿 前 每 天 生 产 化 肥1502=75( 吨 ) 。 从 而 , 7524=1800( 吨 ) 就 是 整 顿 前 产 的化 肥 ; 1800+400=2200( 吨 ) 就 是 整 顿 后 产 的 化 肥 。4、 红 星 机 械 厂 十 一 月 份 计 划 生 产 一 批 机 器 , 实 际 每 天 比 计 划 多 生 产80 台 , 结 果 25 天 就 完 成 了 全 月 计 划 。 这 个
8、 厂 十 一 月 份 计 划 生 产 多少 台 机 器 ? ( 因 果 关 系 )【 分 析 与 解 答 】 这 道 整 数 应 用 题 , 我 们 无 论 是 从 条 件 想 起 , 还 是 从问 题 想 起 , 都 不 容 易 找 到 解 决 问 题 的 办 法 。 如 果 抓 住 题 目 中 的 “25天 完 成 全 月 计 划 ”这 一 条 件 深 入 思 考 : 这 个 厂 为 什 么 用 25 天就 完 成 了 全 月 的 生 产 任 务 ? 这 最 后 5 天 的 生 产 任 务 为 什 么 能 提前 完 成 ? 问 题 就 能 很 快 地 得 到 解 决 了 。 因 为 实 际
9、 每 天 比 原 计 划 多 生 产80 台 , 这 样 生 产 了 25 天 , 就 比 计 划 25 天 多 生 产 了 :8025=2000( 台 )就 把 原 来 计 划 在 后 5 天 的 生 产 任 务 给 提 前 完 成 了 。 换 句 话 说 , 这2000 台 机 器 就 是 原 计 划 后 5 天 的 生 产 任 务 。 那 么 , 原 计 划 每 天生 产 的 台 数 应 为 20005=400( 台 )原 计 划 十 一 月 份 的 生 产 任 务 应 为 40030=12000( 台 )5、 新 光 机 器 厂 装 配 拖 拉 机 , 第 一 天 装 配 50 台 ,
10、 第 二 天 比 第 一天 多 装 配 5 台 , 第 三 、 第 四 两 天 装 配 台 数 是 第 一 天 的 2 倍 多3 台 , 平 均 每 天 装 配 多 少 台 ? ( 移 多 补 少 )【 分 析 与 解 答 】 按 惯 例 , 应 该 用 四 天 装 配 的 总 台 数 除 以 4, 综合 算 式 为 : 50+( 50+5) +( 502+3) 4=52( 台 ) 。 如果 采 用 移 多 补 少 的 方 法 , 将 会 十 分 简 便 。 假 设 每 天 都 装 配 50台 , 那 么 四 天 一 共 多 装 配 5+3=8( 台 ) , 把 这 8 台 平 均 分 成四
11、份 , 84=2( 台 ) , 因 此 , 平 均 每 天 装 配 50+2=52( 台 ) ,综 合 算 式 为 : 50+( 5+3) 4=52( 台 ) , 你 看 , 这 种 解 法 多 么巧 妙 !6、 有 6 个 木 工 和 一 个 漆 工 完 成 了 一 套 家 具 生 产 任 务 。 每 个 木 工 各得 200 元 , 漆 工 的 工 资 比 7 个 工 人 的 平 均 工 资 多 30 元 。 漆 工得 了 多 少 元 钱 ? ( 移 多 补 少 )【 分 析 与 解 答 】 根 据 “移 多 补 少 ”的 原 则 , 漆 工 比 平 均 工 资 高 出的 30 元 , 分
12、 别 补 给 6 个 木 工 以 后 , 6 个 木 工 的 平 均 工 资 恰 好 应该 是 7 个 人 的 平 均 工 资 : 306=5( 元 ) 从 而 , 7 个 人 的 平 均工 资 应 是 200+5=205( 元 ) 漆 工 的 工 资 是 205+30=235( 元 )7、 百 货 商 店 运 来 300 双 球 鞋 , 分 别 装 在 2 个 木 箱 、 6 个 纸 箱里 。 如 果 2 个 纸 箱 同 1 个 木 箱 装 的 球 鞋 一 样 多 , 想 一 想 : 每 个 木箱 和 每 个 纸 箱 各 装 多 少 双 球 鞋 ? ( 等 量 代 换 )【 分 析 与 解
13、答 】 我 们 根 据 “2 个 纸 箱 同 一 个 木 箱 装 的 球 鞋 一 样 多 ”, 把 木 箱 换 成 纸 箱 , 也 就 是 说 , 把 300 双 球 鞋 全 部 用 纸 箱 装 ,不 用 木 箱 装 。 根 据 已 知 条 件 , 2 个 木 箱 里 的 球 鞋 刚 好 装 满 4个 纸 箱 , 再 加 上 原 来 已 装 好 的 6 个 纸 箱 , 一 共 是 10 个 纸 箱 。这 样 , 题 目 就 变 为 “把 300 双 球 鞋 平 均 装 在 10 个 纸 箱 里 , 平均 每 个 纸 箱 装 多 少 双 球 鞋 ? ”可 以 求 出 每 个 纸 箱 装 多 少
14、双 球 鞋 。也 就 能 求 出 一 个 木 箱 装 多 少 双 球 鞋 。 300( 22+6)=30( 双 ) 302=60( 双 )8、 如 图 正 方 形 面 积 是 50 平 方 厘 米 。 求 阴 影 部 分 的 面 积 。( 等 量 代 换 )【 分 析 与 解 答 】 要 求 阴 影 部 分 的 面 积 , 必 须 知 道 正 方 形 的 面 积 和 扇形 的 面 积 , 然 后 用 正 方 形 的 面 积 减 去 扇 形 的 面 积 求 得 阴 影 部 分 的 面 积 。正 方 形 的 面 积 已 知 道 , 扇 形 的 面 积 还 不 知 道 。 要 求 出 扇 形 面 积
15、 必 须 知道 扇 形 的 半 径 , 而 扇 形 的 半 径 就 是 正 方 形 的 边 长 , 从 正 方 形 的 面 积 求正 方 形 边 长 , 小 学 阶 段 没 有 学 过 , 怎 么 办 呢 ? 如 果 把 计 算 扇 形 面 积 的公 式 “S=r24”认 真 观 察 、 思 考 一 下 , 就 不 难 发 现 这 里 的r2 恰 好 是 正 方 形 边 长 的 平 方 , 就 等 于 正 方 形 的 面 积 50 平 方 厘米 。 所 以 , 计 算 扇 形 面 积 只 要 用 “50”代 换 算 式 中 的 r2 就 可以 了 , 没 有 必 要 再 求 出 半 径 r 的
16、 长 度 。 因 此 , 这 道 题 可 列 式 解 答如 下 : 50-3.14504=10.75( 平 方 厘 米 ) 9、 “ 2357111317”的 各 位 数 字 之 和 是 多 少 ? ( 整 体思 维 )【 分 析 与 解 答 】 解 这 道 题 的 一 般 思 路 是 先 算 出 这 个 连 乘 式 的 结 果 ,再 把 它 各 位 上 的 数 字 相 加 。 但 这 是 一 道 “华 杯 ”赛 决 赛 的 一 道口 试 题 , 要 求 在 1 分 钟 内 报 出 答 案 。 在 口 试 中 , 规 定 时 间 内 答 不出 题 是 不 能 得 分 的 。 怎 么 办 呢 ?
17、办 法 是 有 的 。 只 要 把 算 式 中 的 每 个 数 都 仔 细 观 察 一 番 , 抓 住 这些 数 字 特 点 , 可 以 绕 开 “把 7 个 数 连 乘 ”这 段 弯 路 。你 看 , 式 中 有 2, 又 有 5, 25=10, 10 与 其 它 5 个 数的 积 相 乘 , 只 要 在 末 尾 添 个 0, 不 影 响 各 位 上 的 数 字 和 。再 看 看 , 式 中 有 7, 11, 13。 你 如 果 记 得 :71113=1001, 而 1001 与 位 数 比 它 少 的 自 然 数 相 乘 , 积 的 各位 上 除 0 以 外 , 就 是 这 个 数 重 复
18、 一 遍 , 如511001=51051。 题 中 7 个 数 除 2, 5, 7, 11, 13 外 , 还有 317=51。 所 以 , 本 题 的 答 案 为 ( 5 1) 2=12。10、 有 甲 、 乙 、 丙 三 种 货 物 。 如 果 买 甲 3 件 , 乙 7 件 , 丙 1件 , 共 花 去 3.15 元 ; 如 果 买 甲 4 件 , 乙 10 件 , 丙 1 件 , 共花 去 4.20 元 。 现 在 买 甲 、 乙 、 丙 各 1 件 , 需 要 花 多 少 钱 ?( 整 体 思 维 )【 分 析 与 解 答 】 数 学 家 在 分 析 这 个 问 题 时 , 同 一
19、般 人 不 一 样 。 在 数学 家 眼 中 , “X1+X2+X3”可 以 看 成 一 个 整 体 , “求X1 X2 X3 =? ”与 “分 别 求 X1=? , X2=? , X3=? ”是两 回 事 。 如 果 用 题 中 的 条 件 直 接 能 求 出 X1 X2 X3 这 个“和 ”, 那 么 , 把 X1、 X2、 X3 分 别 求 出 来 再 相 加 , 就 是 “绕弯 路 ”、 “自 讨 苦 吃 ”了 。由 已 知 条 件 可 得 :买 甲 3 件 , 乙 7 件 , 丙 1 件 , 花 3.15 元 买 甲 4 件 , 乙 10 件 , 丙 1 件 , 花 4.20 元 要
20、 想 求 出 买 甲 1 件 , 乙 1 件 , 丙 l 件 , 共 需 花 多 少 钱 , 必 须使 上 述 与 中 对 应 的 “件 数 ”相 差 1。 为 此 , 可 转 化 已 知 条 件 :将 条 件 中 的 每 个 量 都 扩 大 3 倍 , 得 :买 甲 9 件 , 乙 21 件 , 丙 3 件 , 花 9.45 元 将 条 件 中 的 每 个 量 都 扩 大 2 倍 , 得 :买 甲 8 件 , 乙 20 件 , 丙 2 件 , 花 8.40 元 所 以 , 买 甲 、 乙 、 丙 各 一 件 , 共 需 要 花 的 钱 数 为 : 9.45-8.40=1.05( 元 )小 学
21、 数 学 思 维 训 练 “十 佳 题 ”( 2)1. 在 里 填 上 不 同 的 质 数 , 使 等 式 成 立 。 【 分 析 与 解 答 】 如 果 两 个 质 数 的 和 ( 或 差 ) 是 奇 数 , 那 么 必 须 是奇 数 与 偶 数 的 和 ( 或 差 ) , 而 偶 质 数 只 有 2, 则 填 写 重 复 。 所以 这 个 和 只 能 是 偶 数 。 一 个 因 数 是 2.可 以 列 出 100 以 内 的 质数 来 选 择 列 举 。3+7=25=23-13 3+11=27=37-233+7=25=71-61 3+19=211=29-7 2.甲 乙 两 种 奥 运 会
22、纪 念 品 的 单 价 相 差 0.6 元 , 用 36 元 钱 买 乙种 纪 念 品 比 买 甲 种 纪 念 品 刚 好 可 以 多 买 2 个 , 则 甲 的 单 价 是 多少 元 , 乙 的 单 价 是 多 少 元 ?【 分 析 与 解 答 】 以 角 做 单 位 , 则360=甲 的 单 价 甲 的 数 量 =( 甲 的 单 价 -6) ( 甲 的 数 量 +2) 。360=1360=2180=1036=1230=1524=1820观 察 知 道 , 甲 的 单 价 是 36 角 , 即 3.6 元 , 乙 的 单 价 是 3 元 。3.一 个 长 方 体 的 玻 璃 缸 , 长 8
23、分 米 , 宽 6 分 米 ,高 4 分 米 , 水深 2.8 分 米 ,如 果 投 入 一 块 棱 长 为 4 分 米 的 正 方 体 铁 块 ,缸 里 的水 溢 出 多 少 升 ?【 分 析 与 解 答 】 铁 块 的 体 积 444=64(立 方 分 米 )水 的 体 积 862.8=134.4 (立 方 分 米 )玻 璃 缸 的 容 积 864=192 (立 方 分 米 )注 意 到 铁 块 的 高 度 与 玻 璃 缸 的 高 度 相 同 ,而 水 的 体 积 与 铁 块 的 体积 的 和 比 玻 璃 缸 的 容 积 大 ,则 溢 出 水 的 体 积 是 64+134.4-192=6.4 (立 方 分 米 )=6.4(升 )4.一 个 棱 长 10 厘 米 的 正 方 体 的 玻 璃 缸 ,水 深 3 厘 米 ,如 果 投 入一 块 棱 长 6 厘 米 的 正 方 体 铁 块 ,缸 里 的 水 上 升 了 多 少 厘 米 ?